원은 가장 완벽한 도형이다. 그 가장자리의 모든 점은 중심에서 같은 거리. 이 단 하나의 조건에서 — 현·접선·원주각·내접사각형에 관한 다섯 개의 강력한 정리가 흘러나온다. Euclid가 『원론』 제3권에 정리한 그대로, 우리는 이번 중단원에서 그 다섯 가지를 손에 쥔다.
삼각형이 3개의 점·3개의 변·3개의 각으로 결정된다면, 원은 단 두 개의 정보 — 중심과 반지름 — 로 완전히 결정된다. 가장 적은 자유도로 가장 풍부한 성질을 만들어 내는 도형. 그래서 Euclid는 『원론』 13권 중 한 권 전체를 원에 바쳤다.
이번 중단원에서 우리는 원 위의 모든 일을 다섯 개의 정리로 환원한다. 한 직선이 원을 만나는 방식 · 현과 중심의 관계 · 접선의 특성 · 원주의 점에서 본 각 · 원에 내접한 사각형. 다섯 개를 통과하면, 원이 등장하는 모든 문제를 직접 풀 수 있다.
평면 위의 한 점 $O$ 에서 같은 거리 $r$ 에 있는 모든 점의 모임. 이때 $O$ 를 중심, $r$ 을 반지름이라 한다.
우리가 다룰 모든 정리는 이 한 줄의 정의에서 출발한다. "어디서나 같은 거리" — 단순하지만, 평면 도형 중 이 조건을 만족하는 곡선은 원이 유일하다.
현 (chord) — 원 위의 두 점을 잇는 선분. 지름은 원의 중심을 지나는 현으로, 가장 긴 현.
호 (arc) — 원의 둘레 일부. 두 점 $A, B$ 가 원을 두 호로 나누는데, 보통 짧은 쪽을 $\overarc{AB}$ 로 표기.
할선 (secant) — 원과 두 점에서 만나는 직선.
접선 (tangent) — 원과 단 한 점에서 만나는 직선. 그 한 점을 접점이라 한다.
중심각 / 원주각 — 호 $\overarc{AB}$ 를 중심 $O$ 에서 본 각 / 원 위의 다른 점 $P$ 에서 본 각.
아래 다섯 정리가 이 중단원의 전부이자 핵심이다. 각각이 하나의 차시로 깊이 다뤄지며, 마지막에 한 번에 모인다.
중심 $O$ 에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 을 비교한다. $d < r$ : 두 점에서 만남 / $d = r$ : 한 점에서 만남 (접) / $d > r$ : 만나지 않음.
차시 Ⅵ-1.1 →대칭성으로부터의 직접적 결과. 중심에서 현까지의 거리가 같은 두 현은 길이도 같다 — 같은 거리, 같은 길이.
차시 Ⅵ-1.2 →접선의 정의("한 점에서만 만남")와 원의 정의("중심에서 같은 거리")가 결합하여 즉시 수직 관계를 낳는다. 외부 점의 두 접선 정리는 한 직각삼각형 합동의 결과.
차시 Ⅵ-1.3 →이 단원에서 가장 놀라운 정리. 원의 둘레 어느 점에서 보든, 같은 호를 본 각은 동일. 한 호가 결정하는 보편적인 각이 존재한다는 뜻이다. 지름이 호일 때는 원주각 = 90° (탈레스의 정리).
차시 Ⅵ-1.4 →네 점이 모두 한 원 위에 있는 사각형의 본질. 원주각 정리의 직접적 따름정리. 한 사각형이 원에 내접하는지 판정하는 기준이기도 하다.
차시 Ⅵ-1.5 →『원론』 13권 중 제3권 전체가 원의 성질을 다룬다.
유클리드는 알렉산드리아 도서관에서 모든 그리스 수학을 13권으로 정리했다. 그 중 제3권 전체는 원에 관한 37개의 명제로 구성되어 있다. 우리가 이번 중단원에서 만나는 다섯 정리는, 2300년 전 그 책의 핵심을 그대로 가져온 것이다.
유클리드의 방식 — 정의 → 공준(공리) → 명제(정리) — 은 수학의 표준이 되었다. 한 줄 정의 ("원은 중심에서 같은 거리에 있는 점의 모임")에서 출발해 모든 정리를 논리적으로 도출하는 방법, 그것이 수학.
다섯 정리를 따로따로 외우면 마치 5개의 별개 사실 같다. 하지만 모두 같은 한 문장에서 흘러나온다:
"원의 모든 반지름은 길이가 같다."
중심에서 직선까지 거리와 반지름의 비교. 반지름이 모두 같으므로, 거리가 반지름보다 작으면 두 점에서, 같으면 한 점에서 만난다.
중심에서 현의 양 끝까지의 거리가 같음 (반지름). 이등변삼각형의 대칭으로 수선이 현을 이등분.
접점이 한 점뿐 → 그 점에서 가장 가까운 직선이 접선 → 중심-접점이 최단 → 수직.
두 반지름이 만드는 이등변삼각형 두 개의 외각 분석. 외각이 두 내각의 합이라는 사실에서 직접 따라온다.
네 꼭짓점이 한 원 위에 있다 = 각 꼭짓점이 원주각을 이룬다. 두 마주보는 각은 호의 합이 한 바퀴 = 중심각의 합 360° = 원주각의 합 180°.
핵심: 다섯 정리를 모두 외우려 하지 말 것. 한 줄 — "모든 반지름은 같다" 만 기억하고, 각 정리를 거기서 다시 끌어내는 훈련을 하자.
중심과 직선의 거리 vs 반지름. 할선·접선·만나지 않음의 세 경우.
중심에서 현에 내린 수선이 현을 이등분. 같은 거리의 현은 같은 길이.
접선 ⊥ 반지름. 외부 점의 두 접선의 길이는 같다. 외접·내접 다각형.
$\angle APB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$. 한 호에 대한 원주각은 모두 같음. 탈레스 정리.
대각의 합 $180°$. 외각 = 마주보는 내각. 원에 내접 여부의 판정.
15문항 종합 점검. 다섯 정리 모두를 가로지르는 문제.
6단계 통과형 — 원의 정리를 실생활 측정 상황에 적용.
가장 기본 — "원과 직선이 만나는 세 가지 방식"으로부터. 한 점에서 만날 때 그것이 접선이 된다는 사실에서, 모든 이야기가 시작된다.