Ⅵ-1.7 수행과제 · 원의 성질 마스터

①분수대와 도로 — 현의 길이

Stage 1 · 원과 직선의 위치 (Ⅵ-1.1)

STAGE 1 / 6

도시 계획 — 분수대를 가로지르는 도로

★ 기초

도시 광장에 반지름 $r = 10\,\text{m}$ 인 원형 분수대가 있다. 한 직선 도로가 분수대 중심에서 $d = 6\,\text{m}$ 떨어져 지나간다. 도로는 분수대를 가로지르는가? 가로지른다면, 도로 위에서 분수대 안에 있는 부분의 길이는 얼마인가?

물음 1. $d$ 와 $r$ 의 대소관계로 위치 관계를 판정하라.

① 위치 관계

② 분수대 안 도로의 길이 (m)

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$d=6 < r=10$ 이므로 도로는 분수대를 두 점에서 만남 (할선).
현의 길이 $= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{100 - 36} = 2\sqrt{64} = 2 \times 8 = 16\,\text{m}$.
(6-8-10 직각삼각형 패턴. 도로 위 약 16m 가 분수대 영역.)

②도자기 복원 — 원의 중심 찾기

Stage 2 · 현의 수직이등분선 (Ⅵ-1.2)

STAGE 2 / 6

고고학자의 도자기 복원

★★ 표준

깨진 도자기 파편 위에 원의 일부가 남아 있다. 그 위에 좌표를 설정하여 세 점 $A(0, 0), B(6, 0), C(6, 8)$ 을 찾았다. 원래 도자기의 중심 좌표와 반지름을 구하라.

방침. 두 현의 수직이등분선 교점이 중심.

① AB의 수직이등분선 방정식

② BC의 수직이등분선 방정식

③ 중심 좌표 (예: (3,4))

④ 반지름

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① 현 $\overline{AB}$ 는 $x$ 축 위 ($y=0$). 중점 $(3, 0)$. 수직이등분선: $x=3$.
② 현 $\overline{BC}$ 는 $x=6$ 위 (수직). 중점 $(6, 4)$. 수직이등분선: $y=4$.
③ 두 직선의 교점: $(3, 4)$.
④ 반지름 = 중심에서 $A$ 까지 거리 = $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. (3-4-5 직각삼각형)

③자전거 도로 — 외접 사각형

Stage 3 · 접선의 성질 (Ⅵ-1.3)

STAGE 3 / 6

도시 자전거 도로 설계

★★ 표준

도시 중심에 원형 분수대를 둘러싸는 사각형 자전거 도로 $ABCD$ 가 분수대에 외접하도록 설계되었다. 측정 결과 세 변의 길이는 $\overline{AB} = 10\,\text{m}, \overline{BC} = 12\,\text{m}, \overline{CD} = 8\,\text{m}$. 나머지 변 $\overline{DA}$ 의 길이는?

물음. 외접 사각형의 대변 합 정리를 적용하라.

① 적용할 공식

② DA의 길이 (m)

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외접 사각형의 대변 합 정리: $\overline{AB} + \overline{CD} = \overline{BC} + \overline{DA}$.
$10 + 8 = 12 + \overline{DA}$ → $\overline{DA} = 6\,\text{m}$.
(둘레 $= 10+12+8+6 = 36\,\text{m}$.)

④천문 관측 — 행성의 시각

Stage 4 · 원주각과 중심각 (Ⅵ-1.4)

STAGE 4 / 6

원형 궤도 위의 세 행성

★★★ 도전

이상적인 원형 궤도 위에 세 행성 $A, B, C$ 가 있다. 어느 순간 행성들이 만드는 호의 길이가 $\overarc{BC} : \overarc{CA} : \overarc{AB} = 1 : 2 : 3$ 이다. 행성 $C$ 에서 관측되는 두 행성 $A, B$ 사이의 각 (즉 $\angle ACB$) 은?

방침. 호의 합이 $360°$ → 각 호의 중심각 → 호 $\overarc{AB}$ 에 대한 원주각 = $\angle ACB$.

① 호 BC의 중심각

② 호 AB의 중심각

③ ∠ACB (호 AB의 원주각)

④ AB가 지름인가? (예/아니오)

풀이 보기

호의 합 $360°$, 비례 $1:2:3$ → 각 호의 중심각은 $60°, 120°, 180°$.
① $\overarc{BC}$ 의 중심각 $= 60°$.
② $\overarc{AB}$ 의 중심각 $= 180°$ — 즉 $\overline{AB}$ 가 지름!
③ $\angle ACB = \tfrac{1}{2}(180°) = 90°$.
④ 호 $\overarc{AB}=180°$ 는 반원 → $\overline{AB}$ 가 지름 → 탈레스 정리로 $\angle ACB = 90°$.

⑤정원 설계 — 내접 사각형

Stage 5 · 원에 내접하는 사각형 (Ⅵ-1.5)

STAGE 5 / 6

원형 정원의 의자 배치

★★★ 도전

원형 정원의 가장자리를 따라 네 개의 의자 $A, B, C, D$ 를 배치한다. 이때 의자 사이의 호의 길이 비가 $\overarc{AB} : \overarc{BC} : \overarc{CD} : \overarc{DA} = 1 : 2 : 3 : 4$ 가 되도록 했다. 의자 $A$ 에서 다른 두 의자 $B, D$ 를 바라본 각 $\angle DAB$ 의 크기를 구하라.

방침. 네 호의 합 $360°$, $\angle A$ 는 $A$ 를 포함하지 않는 호 $\overarc{BCD}$ 의 원주각.

① 각 호의 중심각 (예: 36, 72, 108, 144)

② 호 BCD의 중심각 (호 BC + 호 CD)

③ ∠A (= 호 BCD의 원주각)

④ ∠C (마주보는 각, 대각 합 정리)

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호의 합 $360°$, 비례 $1:2:3:4$ (합 $=10$) → 각 호의 중심각 $36°, 72°, 108°, 144°$.
$\angle A$ 는 $A$ 를 포함하지 않는 호 $\overarc{BCD}$ ($= \overarc{BC} + \overarc{CD}$) 의 원주각.
호 $\overarc{BCD} = 72° + 108° = 180°$ → $\angle A = 90°$.
대각 합 정리로 $\angle C = 180° - 90° = 90°$.
흥미: 두 대각이 모두 $90°$ → 대각선 $\overline{BD}$ 가 외접원의 지름 (탈레스). 정원 설계가 직각을 두 군데 만들어 냈다!

⑥종합 — 외접원과 내접원의 공존

Stage 6 · 다섯 정리 통합

STAGE 6 / 6

직각삼각형의 외접원과 내접원

★★★ 종합

직각삼각형 $\triangle ABC$ 에서 $\angle C = 90°, \overline{BC}=3, \overline{CA}=4, \overline{AB}=5$ (3-4-5 직각삼각형). 이 삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 각각 구하고, 두 원의 관계를 짧게 설명하라.

방침 ① 외접원: 탈레스 정리 — 빗변이 지름.

① 외접원의 반지름 R

② 외접원의 중심 위치 (말로)

방침 ② 내접원: 외접 다각형 정리 — 한 꼭짓점에서 두 접선 길이 같음.

③ 내접원의 반지름 r

④ R/r 비

두 원의 차이를 1~2문장으로 서술하라.

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외접원: $\angle C = 90°$ 이므로 탈레스 정리에 의해 빗변 $\overline{AB}$ 가 외접원의 지름. $R = \tfrac{\overline{AB}}{2} = \tfrac{5}{2} = 2.5$. 중심은 $\overline{AB}$ 의 중점.
내접원: 꼭짓점 $A, B, C$ 에서 두 접점까지의 거리를 $x, y, z$ 라 하면 $x+y=5, y+z=3, z+x=4$. 합 $2(x+y+z)=12$, $x+y+z=6$. $z = 6-5 = 1$. 꼭짓점 $C$ 에서 접점까지 거리가 1이고 ∠C가 직각이므로 — 내접원 반지름 $r = z = 1$.
또는 공식: 직각삼각형 내접원 반지름 $r = \tfrac{a+b-c}{2} = \tfrac{3+4-5}{2} = 1$.
$R : r = 2.5 : 1 = 5 : 2$.

측량 완료 — 최종 점검

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