한 점에서 같은 거리에 있는 모든 점을 모은 원은 평면 위 가장 단순하고 엄격한 도형이다. 수많은 관측값을 한 줄의 숫자로 요약하는 통계는 들쭉날쭉한 세계에서 의미를 추출하는 기술이다. 서로 다른 두 도구는 같은 직관을 공유한다 — 여럿을 하나로 묶는 법칙을 찾는 것.
중학교 수학의 마지막 챕터다. 그 안에서 두 갈래의 흐름이 합류한다 — 기하학의 끝(원)과 통계학의 입문. 언뜻 무관해 보이는 두 주제는 "많은 것을 하나로 묶는 법칙"이라는 공통 직관 위에 서 있다.
한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 모든 점의 모임. 무한히 많은 점이 단 하나의 식 $x^2+y^2=r^2$ 으로 완전히 결정된다.
측정한 모든 값으로부터 평균·중앙값·표준편차 같은 대표 숫자 한 줄을 뽑아낸다. 무한한 다양성을 손에 잡히는 요약으로.
원의 가장자리에서 일어나는 모든 일은 두 종류의 각으로 환원된다. 중심에서 본 각 (중심각) 과 둘레에서 본 각 (원주각). 둘 사이의 단순한 비례 관계가 모든 원의 문제를 푼다.
수많은 측정값을 마주했을 때, 첫 질문은 중심이 어디인가다. 두 번째는 퍼짐이 얼마인가. 두 변수가 있다면 둘 사이의 관계는 무엇인가. 이 세 질문이 통계의 핵심.
두 단원의 핵심어를 나란히 놓으면 놀라운 평행이 드러난다. 원에서 중심은 둘레의 모든 점에서 같은 거리. 통계에서 평균은 모든 데이터로부터의 편차의 합이 0이 되는 유일한 점.
퍼짐도 마찬가지다. 원의 반지름은 중심에서 둘레까지의 거리 — 모든 점이 그 거리만큼 떨어져 있다. 통계의 표준편차는 데이터들이 평균에서 떨어진 전형적인 거리 — 평균을 중심으로 한 일종의 "통계적 반지름".
$\{(x, y) : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\}$
중심 $(a,b)$ · 반지름 $r$.
$\bar{x}$ · $s$ (평균과 표준편차)
중심 $\bar{x}$ · "통계적 반지름" $s$.
원의 한 호 $\overarc{AB}$ 에 대해, 둘레의 임의의 점 $P$ 에서 본 각 $\angle APB$ (원주각) 는 중심에서 본 각 $\angle AOB$ (중심각) 의 정확히 절반.
$\angle APB = \tfrac{1}{2} \angle AOB$
놀라운 결과 — 점 $P$ 가 원 위 어디에 있든, 한 호를 본 원주각은 모두 같다.
원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직. 한 외부 점에서 그은 두 접선의 길이는 항상 같다.
$\overline{OT} \perp \ell$ (접선), $\;\overline{PA}=\overline{PB}$ (두 접선의 길이)
이 두 사실로부터 원과 다각형이 만나는 모든 문제가 풀린다.
데이터 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 의 평균을 $\bar{x}$ 라 할 때 — 각 데이터의 평균에서의 거리 (편차) 를 제곱해서 평균한 것이 분산, 그 제곱근이 표준편차.
$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2$, $\;s = \sqrt{s^2}$
"왜 제곱하지?" — 양·음 편차를 더하면 0이 되니까. 절댓값은 미분이 안 되니까. 결국 가장 자연스러운 선택.
두 변수의 짝 $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ 을 좌표평면에 찍으면 산점도. 점들이 직선에 가까울수록 강한 상관관계. 양의 상관 / 음의 상관 / 무상관.
x ↑ → y ↑ : 양의 상관 · x ↑ → y ↓ : 음의 상관
주의 — 상관관계는 인과관계가 아니다. "아이스크림 판매 ↑ ⟹ 익사사고 ↑"이지만, 원인은 양쪽 모두 "여름".
알렉산드리아 도서관의 학자. 『원론(Elements)』 13권 중 제3권 전체를 원에 바쳤다. 원주각과 중심각의 관계, 내접 사각형의 성질, 접선의 정리 등 — 오늘 우리가 배우는 거의 모든 원의 정리가 여기서 정립.
시라쿠사의 천재. 원의 둘레와 지름의 비 $\pi$ 를 $\tfrac{223}{71} < \pi < \tfrac{22}{7}$ 로 압축. 정96각형으로 근사한 소진법의 창시자 — 미적분의 선조.
"원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 곱은 두 쌍의 대변의 곱의 합과 같다"는 Ptolemy 정리. 천문 계산의 정확도를 한 차원 끌어올렸다.
도박 문제에 관한 서신 교환에서 확률론의 토대를 세웠다. "어떤 사건의 가능성을 수로 매길 수 있다"는 발상이 통계학의 출발점.
표본의 크기가 커질수록 표본평균이 모평균에 수렴한다 — 통계의 가장 깊은 원리. "데이터가 많아지면 진실에 가까워진다"를 처음으로 증명.
오류의 분포가 종 모양 곡선을 따른다는 사실을 발견. 오늘날 거의 모든 자연·사회 데이터의 모델인 정규분포의 어머니. 분산·표준편차의 정착에도 기여.
두 변수 사이의 관계 강도를 -1에서 +1 사이 한 수로 요약하는 피어슨 상관계수. 골턴의 회귀 연구를 정량화하여 현대 통계학의 토대 정립.
『연구원을 위한 통계적 방법』으로 분산 분석·실험 설계·가설 검정을 정립. 의학·농업·심리학에 통계학을 침투시킨 결정적 인물.
인체 단면 영상은 원형 검출기의 회전으로 만들어진다. 원의 기하학 + 통계적 잡음 처리의 결합.
세 위성으로부터의 거리로 지구 위 위치를 결정 — 세 원의 교점 문제. 측정 오차는 통계로 보정.
아치·돔·터널 단면 — 모두 원의 응용. 구조물의 안정성은 통계적 안전 계수로 보장.
야구의 OPS, 축구의 xG (기대 득점), 농구의 슛 차트 — 모두 산점도와 상관관계 위에 세워졌다.
과거 데이터의 평균·분산으로 내일의 기온 분포를 예측. 정규분포의 직접 응용.
신약의 효과 검증, 유전자와 질병의 상관관계 — 통계 없이는 어떠한 의학적 결론도 불가능.
공장의 표준편차 관리도 — 6시그마. 제품 불량률을 통계적으로 통제하는 산업의 기본 도구.
모든 머신러닝의 손실 함수는 평균 제곱 오차(MSE) — 분산의 직계 후손. 통계는 AI의 언어.
중학교 수학의 마지막 단원입니다. 원의 엄격한 기하학과 통계의 유연한 직관 — 두 도구를 손에 쥐고 시작합시다.