중학교 수학 / 3학년 / Ⅵ. 원과 통계 / 1. 원의 성질 / 5. 원에 내접하는 사각형
Ⅵ-1.5 ★ 다섯 번째 정리 9수03-09 2022 개정 교육과정

마주보는 두 각의 합은
언제나 180° — 원에 내접하는 사각형

사각형의 네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있다면, 마주보는 두 각의 합은 정확히 $180°$. 이 한 줄의 사실에서 — 외각의 정리, 내접 판정의 역, 그리고 접선과 현이 이루는 각까지 모두 따라온다. 원주각 정리의 가장 우아한 응용.

01네 꼭짓점이 같은 원 위에 있을 때

When four vertices share a circle
"네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 — 그 사각형의 네 각은 어떻게 묶이는가?"
놀라운 답: 마주보는 두 각의 합이 정확히 180°. 일반 사각형에서는 네 각의 합 360°라는 사실 외에 어떤 규칙도 없지만, 한 원 위로 묶이는 순간 — 강한 제약이 부과된다. 이번 차시의 핵심 정리.
A B C D ∠A ∠C ∠A + ∠C = 180°

02정리 1 — 마주보는 두 각의 합 = 180°

Opposite angles sum to 180°
Theorem · Ⅵ-1.5 (i)

원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 $180°$

$\angle A + \angle C = 180°, \quad \angle B + \angle D = 180°$

네 꼭짓점이 한 원 위에 있는 사각형 $ABCD$ 에서, 마주보는 두 각의 합은 항상 $180°$.

증명은 원주각 정리에서 직접 따라온다.

A B C D

증명 — 원주각 정리의 직접 응용

PROOF · using the inscribed angle theorem
O A B C D 호 BCD (∠A가 보는) 호 DAB (∠C가 보는)
STEP 1 · 호 분할
사각형 $ABCD$ 의 네 꼭짓점이 원을 네 호로 나눈다. 호 $\overarc{BCD}$ (점 $A$ 가 포함되지 않은 호) 와 호 $\overarc{DAB}$ (점 $C$ 가 포함되지 않은 호) 가 합해서 원 전체 = $360°$.
STEP 2 · 원주각 표현
$\angle A = \angle DAB$ 는 호 $\overarc{BCD}$ 에 대한 원주각. $\angle C = \angle BCD$ 는 호 $\overarc{DAB}$ 에 대한 원주각.
STEP 3 · 원주각 정리
$\angle A = \tfrac{1}{2}\overarc{BCD}$, $\angle C = \tfrac{1}{2}\overarc{DAB}$ (호를 중심각으로 측정한 양).
STEP 4 · 합
$\angle A + \angle C = \tfrac{1}{2}(\overarc{BCD} + \overarc{DAB}) = \tfrac{1}{2}(360°) = 180°$.
∴ $\angle A + \angle C = 180°$. 마찬가지로 $\angle B + \angle D = 180°$   ▢

03정리 2 — 외각 = 마주보는 내각

Exterior angle = opposite interior angle

외각의 성질

원에 내접하는 사각형의 한 변을 연장하여 생기는 외각은, 그 외각과 마주보는 내각의 크기와 같다.

$\angle DCE = \angle A$  ($E$ 는 $\overline{BC}$ 의 연장선 위)

증명: 외각 $\angle DCE = 180° - \angle BCD = 180° - \angle C$. 정리 1에 의해 $\angle A + \angle C = 180°$ 이므로 $180° - \angle C = \angle A$. 따라서 외각 $= \angle A$.

A B C D E ∠DCE ∠A

04역의 정리 — 내접 판정

Converse · cyclic test
Theorem · Ⅵ-1.5 (iii) Converse

대각의 합이 $180°$ ⟹ 원에 내접

$\angle A + \angle C = 180°$  ⟹  사각형 $ABCD$ 는 원에 내접

역으로, 임의의 사각형 $ABCD$ 에서 마주보는 두 각의 합이 $180°$ 이면, 그 사각형의 네 꼭짓점은 모두 한 원 위에 있다.

즉, "원에 내접한다" ⟺ "대각의 합 $=180°$". 이것이 내접 판정의 기준.

A B C D ∠A+∠C=180° → 외접원 존재

응용: 어떤 사각형이 원에 내접하는지 판정하려면 — 마주보는 두 각의 합이 $180°$ 인지만 확인하면 된다. 가장 간단한 내접 판정법.

05접선과 현이 이루는 각

Tangent-chord angle

접선과 현이 이루는 각 = 원주각

원의 접선 $\ell$ 과 그 접점 $T$ 를 지나는 현 $\overline{TA}$ 가 이루는 각은, 그 현이 만드는 호 $\overarc{TA}$ 에 대한 원주각과 같다.

$\angle (\ell, \overline{TA}) = \angle TBA$ (단, $B$ 는 호 위의 원주각 점)

접선을 "원주각의 점 P가 무한히 접점에 가까워질 때의 극한"으로 생각하면 자연스럽게 받아들여진다.

이 정리는 일부 교과서에서는 "심화" 또는 "탐구" 부분으로 다룬다. 한 단원의 종합 응용으로 다음 챕터의 다리 역할.

T A B ∠(ℓ, TA) ∠TBA

06실험실 — 사각형을 움직여 보자

Inscribed quadrilateral lab

네 꼭짓점의 위치 조절

두 꼭짓점 $A, C$ 의 위치를 슬라이더로 조절. $\angle A$ 와 $\angle C$ 의 합이 어떤 위치에서든 정확히 $180°$ 임을 확인하라.

135°
315°

07개념 점검 5문항

Quick check
QC 01
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 80°$ 일 때 $\angle C$ 의 크기는?
정답 보기
$\angle A + \angle C = 180°$ → $\angle C = 180° - 80° = \mathbf{100°}$.
QC 02
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle B = 110°$ 일 때 $\angle D$ 의 크기는?
정답 보기
$\angle B + \angle D = 180°$ → $\angle D = 70°$.
QC 03
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\overline{BC}$ 의 연장선 위에 점 $E$ 가 있다. $\angle DCE = \angle A$ 인가?
정답 보기
Yes. 외각 정리: 외각 $\angle DCE = 180° - \angle BCD = \angle A$.
QC 04
사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A + \angle C = 180°$ 이다. 이 사각형은 원에 내접하는가?
정답 보기
Yes. 역의 정리에 의해 네 꼭짓점은 한 원 위에 있다.
QC 05
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 85°, \angle B = 95°$ 이다. $\angle C, \angle D$ 의 크기는?
정답 보기
$\angle C = 180-85 = 95°$, $\angle D = 180-95 = \mathbf{85°}$. (Note: $\angle A$ 와 $\angle D$ 가 우연히 같음 — 등변 사다리꼴의 특수 경우)

08예제 2선

Worked examples
예제 1 · 외각 정리 활용

원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\overline{BC}$ 의 연장선 위의 점 $E$ 에 대해 $\angle DCE = 75°$ 일 때, $\angle A$ 의 크기를 구하여라.

외각 정리 · 원에 내접하는 사각형의 한 외각은 마주보는 내각과 같다.
대응 · $\overline{BC}$ 연장의 외각 $\angle DCE$ 는 꼭짓점 $A$ 의 내각과 마주본다.
결론 · $\angle A = \angle DCE = 75°$.
$\therefore \; \angle A = 75°$
예제 2 · 두 정리 결합

원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 90°$ 일 때 — 이 사각형은 어떤 도형이 될 수 있는가?

대각의 합 · $\angle A + \angle C = 180°$ → $\angle C = 90°$.
관찰 · 두 마주보는 각이 모두 $90°$.
탈레스 정리 · 원 위의 점에서 본 직각이라면 마주보는 변이 지름. $\overline{BD}$ 가 지름!
해석 · 한 대각선이 외접원의 지름인 사각형. (단, 직사각형의 경우 두 대각선 모두 지름.)
$\therefore$ 한 대각선이 외접원의 지름인 사각형 (직사각형은 특수 경우)

09연습 8문항

Practice · ★ basic / ★★ standard / ★★★ challenge
P01★
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 70°$ 일 때 $\angle C$ 의 크기는?
풀이 보기
$\angle C = 180° - 70° = 110°$.
P02★
원에 내접하는 사각형에서 $\angle B = 85°$ 일 때 $\angle D$ 의 크기는?
풀이 보기
$\angle D = 180° - 85° = 95°$.
P03★
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 90°$ 일 때 $\angle C$ 의 크기는?
풀이 보기
$\angle C = 180° - 90° = 90°$. (이 경우 대각선 $\overline{BD}$ 가 외접원의 지름)
P04★★
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 70°, \angle B = 110°$ 이다. $\angle C$ 의 크기는?
풀이 보기
$\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°$. (참고: $\angle D = 70°$. 이때 $AB \parallel DC$ 인 등변 사다리꼴)
P05★★
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 $\overline{BC}$ 의 연장선 위의 점 $E$ 에 대해 $\angle DCE = 75°$ 이다. $\angle A$ 의 크기는?
풀이 보기
외각 정리: $\angle DCE$ 는 $\angle BCD$ 의 외각 = $180° - \angle C$. $\angle A + \angle C = 180°$ 이므로 $\angle A = 180° - \angle C = \angle DCE = 75°$.
P06★★
사각형 $ABCD$ 에서 $\angle A = 100°, \angle C = 80°$ 이다. 이 사각형은 원에 내접하는가? (네 / 아니오)
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$\angle A + \angle C = 180°$ 이므로 역의 정리에 의해 원에 내접한다.
P07★★★
지름 $\overline{AB}$ 인 원 위의 두 점 $P, Q$ 가 $\overline{AB}$ 의 양쪽에 각각 있어 사각형 $APBQ$ 가 만들어진다 ($A→P→B→Q$ 순서). $\angle PAQ = 60°$ 일 때 $\angle PBQ$ 의 크기는?
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사각형 $APBQ$ 의 정점이 모두 원 위에 있으므로 내접 사각형. 정점 순서 $A→P→B→Q$ 에서 마주보는 각은 $\angle A$ 와 $\angle B$ (즉 $\angle QAP$ 와 $\angle PBQ$), 그리고 $\angle P$ 와 $\angle Q$.
대각 합 정리: $\angle PAQ + \angle PBQ = 180°$ → $\angle PBQ = 180° - 60° = \mathbf{120°}$.
참고: $\overline{AB}$ 가 지름이므로 $\angle APB = \angle AQB = 90°$ (탈레스). 둘의 합도 $180°$ ✓.
P08★★★
원에 내접하는 사각형 $ABCD$ 에서 네 호 $\overarc{AB} : \overarc{BC} : \overarc{CD} : \overarc{DA} = 1 : 2 : 3 : 4$ 일 때 $\angle A$ 의 크기는?
풀이 보기
네 호의 합 $= 360°$, 비례 $1:2:3:4$ → 각각 $36°, 72°, 108°, 144°$.
$\angle A$ ($= \angle DAB$) 는 $A$ 를 포함하지 않는 호 $\overarc{BCD}$ 에 대한 원주각.
호 $\overarc{BCD} = \overarc{BC} + \overarc{CD} = 72° + 108° = 180°$.
$\angle A = 180°/2 = \mathbf{90°}$.
흥미로운 사실: $\angle A = 90°$ 이면 대각선 $\overline{BD}$ 가 외접원의 지름. (탈레스 정리 결합)

10한 줄로 정리

Synthesis

대각 합 정리

원에 내접하는 사각형: ∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°. 원주각 정리의 직접 결과.

외각 정리

한 외각 = 마주보는 내각. ∠DCE = ∠A.

내접 판정

역도 성립: 대각 합이 180°이면 원에 내접. 가장 단순한 판정법.

접선과 현

접선과 현이 이루는 각 = 그 현에 대한 원주각. 접선을 극한 원주각으로 해석.

중단원 완성  Ⅵ-1.1부터 1.5까지 — 원의 다섯 거대 정리를 모두 손에 넣었다. 이제 Ⅵ-1.6 중단원 점검과 Ⅵ-1.7 수행과제에서 종합 응용으로 이어진다.