평면 위의 한 원과 한 직선. 두 도형은 어떻게 만날 수 있을까? 직관은 무한한 경우의 수를 상상하게 만들지만 — 실제로는 단 세 가지뿐이다. 그 세 경우를 결정하는 것은 단 하나의 비교: 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 의 대소.
중심 $O$ 에서 직선 $\ell$ 에 내린 수선의 발까지의 거리를 $d$ 라 하자. 반지름 $r$ 과의 대소 관계가 원과 직선의 만남을 완전히 결정한다.
직선이 원 안으로 깊숙이 들어가 두 점에서 만난다. 이때 직선을 할선 (secant) 이라 하고, 잘려나간 부분을 현 (chord) 이라 한다.
직선이 원에 닿기는 하지만 들어가지는 않는다. 단 한 점 — 접점 (point of tangency) 에서 만나며, 이때 직선을 접선 (tangent) 이라 한다.
직선이 원에서 너무 멀어 한 점도 공유하지 않는다. 두 도형은 평면에서 서로 분리되어 있다.
결정 알고리즘 원과 직선의 위치 관계를 물을 때 → ① 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 를 구한다. ② 반지름 $r$ 과 비교한다. ③ 세 경우 중 어디인지 판정. 끝. 추가 도형 분석이 필요 없는 단 세 줄짜리 절차.
Case ① ($d < r$) 에서 직선이 자르는 현의 길이는 얼마인가? 중심에서 현에 수선을 내리면 그 수선이 현을 이등분한다 (다음 차시의 핵심 정리지만 미리 활용). 그러면 직각삼각형의 피타고라스가 답을 준다.
원 밖의 한 점 $P$ 에서 원에 그은 접선을 생각하자. 접점을 $T$ 라 할 때, $\overline{PT}$ 의 길이를 접선의 길이라 한다. 이 값은 $P$ 의 위치와 반지름만으로 결정된다.
외부 점 $P$, 원의 중심 $O$, 접점 $T$. 다음 차시의 핵심 정리 ($\overline{OT} \perp \overline{PT}$) 에 의해 직각삼각형 $OPT$ 가 만들어진다.
피타고라스로부터 즉시. 빗변이 $\overline{OP}$, 한 변이 $r$, 다른 변이 $\overline{PT}$.
반지름 $r=6$ 고정. 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 를 조절하여 세 경우의 전환점을 직접 관찰하라. 임계값 $d=r$ 을 지나는 순간 접선이 형성되는 모습을 본다.
$d < r$ 두 점 (할선) · $d = r$ 한 점 (접선) · $d > r$ 만나지 않음. 거리 하나로 모두 결정.
$2\sqrt{r^2 - d^2}$. 중심에서 현에 내린 수선이 이등분한다는 사실 + 피타고라스.
$\sqrt{\overline{OP}^2 - r^2}$. 접선 ⊥ 반지름 + 피타고라스.
이 단원의 문제에서 가장 자주 등장하는 직각삼각형 정수쌍. 3-4-5도 함께 기억하자.
다음 단계 — Ⅵ-1.2 현의 수직이등분선 이번 차시에서 가볍게 사용한 "중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분"이라는 사실을 본격적으로 증명한다. 그리고 그 역명제 — "현의 수직이등분선은 반드시 중심을 지난다" — 도 다룬다.