"풀이는 끝이 아니다 — 식에서 답으로, 다시 현실로."
6단계의 미션을 통해 이차방정식의 활용을 익힌다. 처음 두 단계에서 판별식과 근과 계수의 관계로 식의 성질을 분석하고, 다음 세 단계에서 수·도형·실생활을 직접 모델링한다. 마지막 단계는 자기 평가.
- 각 단계에서 풀이를 단계별로 작성한다.
- 모델링 문제는 항상 미지수 설정 → 식 → 풀이 → 답 검토 4단계.
- 해의 의미를 자신의 말로 설명한다.
Stage · 01
판별식 마스터
$D = b^2 - 4ac$
Ⅰ풀기 전에 판별하기
판별식만으로 근의 종류와 개수를 결정하고, 미정 계수가 들어 있는 식의 범위를 결정한다.
세 문제를 풀이하라.
- ① $x^2 - 5x + 6 = 0$, $x^2 + 6x + 9 = 0$, $x^2 + 2x + 5 = 0$ 의 판별식을 모두 구하고 근의 종류를 분류하라.
- ② $x^2 + kx + 9 = 0$ 이 중근을 가지려면 $k$ 의 값을 구하라.
- ③ $x^2 - 2x + k = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가지려면 $k$ 의 범위를 구하라.
팁 — 판별식의 부호만 확인하면 직접 풀지 않고도 근의 개수를 안다.
Stage · 02
근과 계수의 관계 마스터
$\alpha + \beta = -b/a, \alpha\beta = c/a$
Ⅱ합과 곱으로 모든 것을 안다
두 근을 직접 구하지 않고 식의 값을 계산한다. 두 근이 주어질 때 방정식을 만든다.
세 문제를 풀이하라.
- ① $x^2 - 5x + 3 = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때 $\alpha^2 + \beta^2, \;\;(\alpha-\beta)^2, \;\; \dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ 의 값을 구하라.
- ② 두 근이 $3, -7$ 인 이차방정식($x^2$ 계수 1)을 만들어라.
- ③ 두 근이 $1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}$ 인 이차방정식($x^2$ 계수 1)을 만들어라.
팁 — ③번처럼 두 근이 켤레꼴(무리수)일 때 곱이 유리수가 되는 점에 주목.
Stage · 03
수의 활용 마스터
Number Modeling
Ⅲ문장을 식으로
"연속한 수", "어떤 수" 류의 문장을 정확히 미지수 설정 → 식 → 풀이 → 답 검토 절차로 푼다.
세 문제를 풀이하라.
- ① 연속한 두 자연수의 곱이 $156$. 두 자연수를 구하라.
- ② 어떤 자연수의 제곱은 그 수의 $5$ 배보다 $24$ 만큼 크다. 그 자연수는?
- ③ 연속한 세 자연수의 제곱의 합이 $77$. 세 자연수는?
팁 — 자연수, 양수 등 조건을 항상 확인한다. 음수 해는 버리는 것이 보통.
Stage · 04
도형의 활용 마스터
Geometric Modeling
Ⅳ도형 문제를 이차식으로
직사각형·정사각형·직각삼각형의 변과 넓이 조건을 이차방정식으로 옮긴다.
세 문제를 풀이하라.
- ① 가로가 세로보다 $6$ cm 긴 직사각형의 넓이가 $91$ cm². 세로의 길이를 구하라.
- ② 정사각형의 한 변을 $5$ cm 늘렸더니 넓이가 $115$ cm² 증가했다. 처음 한 변은?
- ③ 직각삼각형의 두 직각변의 길이의 차가 $7$ cm, 빗변이 $13$ cm. 짧은 직각변은?
팁 — 모든 길이는 양수 조건. 단위(cm, m)를 답에 꼭 적는다.
Stage · 05
실생활 활용 마스터
Real-World Modeling
Ⅴ물리·면적의 실세계 문제
자유낙하·도로·액자 등 실제 상황을 이차방정식으로 모델링하고 의미 있는 답을 찾는다.
세 문제를 풀이하라.
- ① 지면에서 $30$ m/s 로 위로 던진 공($h = -5t^2 + 30t$)이 (a) 땅에 닿는 시간, (b) 높이 $25$ m 를 지나는 두 시간을 구하라.
- ② 가로 $20$ m, 세로 $15$ m 잔디밭 둘레에 같은 폭의 길을 만들었더니 전체 넓이가 $416$ m². 길의 폭은?
- ③ 절벽 $15$ m 위에서 $10$ m/s 로 던진 공 ($h = -5t^2 + 10t + 15$) 이 땅에 닿는 시간은?
팁 — ①번처럼 두 시간이 모두 답이 되는 경우가 있다. 의미를 자신의 말로 설명할 것.
Stage · 06
자기 평가 보고서
Self-Assessment Report
Ⅵ학습 되돌아보기
자신의 강점과 약점을 진단하고, 대단원 평가로 넘어갈 준비를 한다.
다음 네 가지 항목을 자유롭게 서술하라.
- ① 활용 5가지 영역(판별식, 근과 계수, 수, 도형, 실생활) 중 가장 자신 있는 영역과 그 이유
- ② 가장 어려웠던 영역과 어려웠던 이유
- ③ "4단계 풀이 절차"(미지수 → 식 → 풀이 → 검토) 중 자신이 자주 빠뜨리는 단계와 개선 방법
- ④ 비에트의 정리("두 근의 합·곱이 계수만으로 결정된다")가 왜 우아한 결과인지 한 문장으로 설명
정직한 자기 평가가 대단원 평가에서 더 좋은 결과로 이어진다.
Stage 1~2
30
판별식·근과 계수의 정확한 활용.
Stage 3~5
55
모델링(수·도형·실생활) 능력.
Stage 6
15
자기 학습 진단과 통찰.
모든 단계를 완료했다면, 제출하라.
제출 시 각 단계의 작성 상태가 자동으로 점검된다.