2.4 실생활 활용 | 중학교 3학년 수학

Hook · 도입

"지면에서 위로 던진 공이 다시 땅에 닿는 시간은?"

지상에서 처음 속도 $20$ m/s 로 위로 던진 공의 시간 $t$ 초 후 높이를 $h$ m 라 하면, 물리의 자유낙하 공식으로 $h = 20t - 5t^2$. 공이 땅에 닿는 순간 $h = 0$ → $20t - 5t^2 = 0$ → 이차방정식이 등장한다.

$h = 20t - 5t^2 = 0$
$\Rightarrow 5t(4 - t) = 0$
$\Rightarrow t = 0$ (던진 순간) 또는 $t = 4$

✓ 답 : $4$ 초 후 공이 다시 땅에 닿는다.

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활용 1 — 운동과 자유낙하

Motion and Free Fall

1자유낙하 공식

위로 던진 물체의 $t$ 초 후 높이 $h$ (단위 m) :
$h = -5t^2 + v_0 t + h_0$

$v_0$ 은 처음 위로 던진 속도 (m/s), $h_0$ 은 시작 높이 (m), 계수 $-5$ 는 중력에 의한 가속 $g/2$ ($g \approx 10$ m/s²).

$t^2$ 의 계수가 음수($-5$) → 시간이 지날수록 위로 가는 속도가 줄어들다가 떨어진다.

2대표 문제 — "땅에 닿는 시간"

지면에서 $30$ m/s 의 속도로 위로 던진 공이 다시 땅에 닿는 시간을 구하라.

1. 설정

$h_0 = 0, \;\; v_0 = 30$ → 식 : $h = -5t^2 + 30t$

2. 식

땅에 닿는 순간 $h = 0$ → $-5t^2 + 30t = 0$

3. 풀이

$-5t(t - 6) = 0 \;\Rightarrow\; t = 0$ 또는 $t = 6$

4. 답

$t = 0$ 은 던진 순간이므로 의미 없음. 답 : $6$ 초 후

3대표 문제 — "특정 높이를 지날 때"

위 문제에서 공이 $40$ m 높이를 지나는 시간은 두 번 — 올라갈 때와 내려올 때. 즉, $h = 40$ 인 시간 두 개가 모두 해.

식

$-5t^2 + 30t = 40 \;\Rightarrow\; 5t^2 - 30t + 40 = 0 \;\Rightarrow\; t^2 - 6t + 8 = 0$

풀이

$(t-2)(t-4) = 0 \;\Rightarrow\; t = 2$ 또는 $t = 4$

의미

$t = 2$ 초 (올라가는 중), $t = 4$ 초 (내려오는 중). 두 시간 모두 답.

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활용 2 — 가격과 매출

Price and Revenue

1가격 변화와 매출 모델

"가격을 올리면 손님 수는 줄어든다." 이런 관계가 있을 때, 매출 = 가격 × 손님 수 는 이차식이 된다.

예) 한 개 $100$ 원에 $200$ 개 팔리던 빵이, 가격을 $10$ 원 올릴 때마다 손님이 $20$ 명 줄어든다.

$x$ 번 인상 → 가격 $(100 + 10x)$ 원, 손님 $(200 - 20x)$ 명
매출 $S = (100 + 10x)(200 - 20x)$

2대표 문제 — "매출이 $24000$ 원이 되는 인상 횟수"

식

$(100 + 10x)(200 - 20x) = 24000$

전개

$20000 - 2000x + 2000x - 200x^2 = 24000 \;\Rightarrow\; -200x^2 = 4000 \;\Rightarrow\; x^2 = -20$

검토

$x^2 = -20 < 0$ → 실수 범위에서 해 없음. 매출 $24000$ 원에 도달할 수 없다.

3대표 문제 — "매출이 $22500$ 원이 되는 인상 횟수"

식

$(100 + 10x)(200 - 20x) = 22500$

전개

$20000 - 200x^2 = 22500 \;\Rightarrow\; -200x^2 = 2500 \;\Rightarrow\; x^2 = -12.5$

검토

$x^2 < 0$ → 실수 해 없음. 이 모델에서는 매출이 $20{,}000$ 원이 최대로 보인다 ($x=0$ 일 때).

실제 가격·매출 문제는 보통 매출이 처음보다 감소하는 경우($x \neq 0$)를 다룬다. 가격 조정으로 매출이 일정 값 이상/이하가 되는 인상 횟수를 묻는 형태.

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활용 3 — 면적 변화 (도로·액자)

Area Change — Roads and Frames

1액자 — 사진 둘레의 일정한 폭

"가로 $20$ cm, 세로 $14$ cm 의 직사각형 사진의 둘레에 같은 폭으로 액자를 붙였더니, 전체 넓이가 사진 넓이의 $2$ 배가 되었다. 액자의 폭을 구하라."

설정

액자 폭 $x$ cm ($x > 0$). 전체 가로 $20 + 2x$, 전체 세로 $14 + 2x$.

식

사진 넓이 = $20 \times 14 = 280$. 전체 넓이 = $(20+2x)(14+2x)$.
조건 : $(20+2x)(14+2x) = 2 \cdot 280 = 560$

전개

$280 + 40x + 28x + 4x^2 = 560 \;\Rightarrow\; 4x^2 + 68x - 280 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 + 17x - 70 = 0$

풀이

판별식 $D = 289 + 280 = 569$ → $\sqrt{569} \approx 23.85$ (무리수). 정수 해 없음. 근의 공식 : $x \approx \dfrac{-17 + 23.85}{2} \approx 3.4$ cm

2도로 — 직사각형 땅 가운데 가로·세로 도로

"가로 $20$ m, 세로 $15$ m 의 직사각형 땅에 폭이 같은 십자형 도로를 만들었더니, 도로를 제외한 땅의 넓이가 $216$ m²였다. 도로의 폭을 구하라."

설정

도로 폭 $x$ m ($0 < x < 15$). 도로를 제외한 땅 = (가로 $-x$) × (세로 $-x$) = $(20 - x)(15 - x)$.
왜? 도로를 한쪽 끝으로 모두 옮긴 것과 같은 넓이. (이동 보존)

식

$(20 - x)(15 - x) = 216$

전개

$300 - 20x - 15x + x^2 = 216 \;\Rightarrow\; x^2 - 35x + 84 = 0$

풀이

$(x - 3)(x - 28) = 0 \;\Rightarrow\; x = 3$ 또는 $x = 28$

검토

$x < 15$ 조건 → $x = 28$ 은 도로 폭이 땅보다 큼. 부적합. 답 : 폭 $3$ m

Interactive · 실험실

자유낙하 시뮬레이터

Free Fall Simulator

$v_0$ (처음 속도)와 $h_0$ (시작 높이)를 입력하면 땅에 닿는 시간을 계산한다.

v₀ (m/s) h₀ (m)

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. $h = -5t^2 + 30t$ 에서 공이 땅에 닿는 시간 $t$ 는? (초)

Q2. $h = -5t^2 + 30t$ 에서 높이 $40$ m 를 지나는 두 시간은? (예: 2,4)

Q3. 지면에서 $20$ m/s 로 던진 공 ($h = -5t^2 + 20t$) 이 땅에 닿는 시간은?

Q4. $h = -5t^2 + 10t + 15$ 인 물체가 땅에 닿는 시간을 구하라.

Q5. 가로 $20$, 세로 $15$ 인 땅에 폭 $x$ 의 십자 도로 → 남은 땅 넓이 $216$. $x$ 값은?

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1

높이 $25$ m 의 절벽에서 처음 속도 $20$ m/s 로 위로 던진 공이 땅에 닿는 시간을 구하라.

시작 높이 $h_0 = 25$, 처음 속도 $v_0 = 20$ → 식 : $h = -5t^2 + 20t + 25$

땅에 닿는 순간 $h = 0$ → $-5t^2 + 20t + 25 = 0$
양변을 $-5$ 로 나누어 정리 → $t^2 - 4t - 5 = 0$
인수분해 → $(t - 5)(t + 1) = 0$ → $t = 5$ 또는 $t = -1$
시간 조건 $t > 0$ → $t = 5$
결과 → $5$ 초 후 땅에 닿는다.

예제 2

가로 $12$ m, 세로 $8$ m 의 직사각형 잔디밭 둘레에 같은 폭의 길을 만들었더니, 길을 포함한 전체 넓이가 $140$ m². 길의 폭을 구하라.

길의 폭 $x$ m → 전체 가로 $12 + 2x$, 전체 세로 $8 + 2x$.

식 : $(12 + 2x)(8 + 2x) = 140$
전개 : $96 + 24x + 16x + 4x^2 = 140 \;\Rightarrow\; 4x^2 + 40x - 44 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 + 10x - 11 = 0$
인수분해 : $(x + 11)(x - 1) = 0 \;\Rightarrow\; x = -11$ 또는 $x = 1$
양수 조건 → $x = 1$
결과 → 길의 폭은 $1$ m

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

$h = -5t^2 + 10t$ 인 공이 땅에 닿는 시간 (초)은?

02★

$h = -5t^2 + 40t$ 인 공이 땅에 닿는 시간 (초)은?

03★★

$h = -5t^2 + 20t$ 인 공이 높이 $15$ m 를 지나는 두 시간 (초)을 구하라. (예: 1,3)

04★★

높이 $25$ m 절벽에서 $20$ m/s 로 던진 공 ($h = -5t^2 + 20t + 25$) 의 땅 도달 시간 (초)?

05★★

가로 $12$ m, 세로 $8$ m 잔디밭 둘레에 같은 폭의 길 → 전체 넓이 $140$ m². 폭은? (m)

06★★

가로 $30$ m, 세로 $20$ m 땅에 폭이 같은 십자 도로 → 남은 넓이 $504$ m². 도로 폭은?

07★★★

$h = -5t^2 + 30t$ 일 때 높이 $45$ m 에 도달하는 시간 (초)? [중근 — 최고점에서 만남]

08★★★

$h = -5t^2 + 20t$ 일 때 높이 $25$ m 에 도달하는 시간이 있는가? (있으면 시간, 없으면 "해 없음")

이차방정식 — 세상을 모델링하는 언어

공이 그리는 포물선, 가게의 매출 곡선, 액자와 도로의 면적 — 모두 이차식으로 표현되고 이차방정식으로 풀린다. 문장에서 식으로, 풀이에서 다시 현실로 되돌아오는 4단계가 모든 실생활 문제의 본질. Ⅲ-2.5 점검 후 수행과제로 활용 단원을 완성한다.

"The parabola is everywhere — physics, economics, even architecture."