2.3 수와 도형의 활용 | 중학교 3학년 수학

Hook · 도입

"연속하는 두 자연수의 곱이 90 — 두 자연수를 구하라."

문장으로 주어진 문제를 어떻게 식으로 옮기는가? 작은 수를 $x$ 라 하면 다음 수는 $x+1$. 두 수의 곱이 90 → $x(x+1) = 90$. 정리하면 $x^2 + x - 90 = 0$. 이차방정식이 된다.

문장 → 식 → 풀이 → 답 검토

$x(x+1) = 90$ → $x^2 + x - 90 = 0$ → $(x+10)(x-9) = 0$
→ $x = 9$ 또는 $x = -10$
자연수 조건 에서 $x = 9$ → 두 수는 9, 10

Core · 절차

4단계 풀이 절차

Four-Step Problem-Solving Framework

모든 활용 문제는 이 네 단계로 푼다

미지수 설정

구하려는 양을 $x$ 로 놓는다. 단위와 조건도 명확히.

방정식 세우기

주어진 조건을 $x$ 에 관한 식으로 옮긴다.

방정식 풀기

Ⅲ-1에서 배운 세 풀이법 중 적절한 것 선택.

답 검토 + 답하기

두 해 중 조건에 맞는 것 선택. 자연수, 양수 등 확인.

4단계의 핵심. 1·2단계가 "수학화", 3단계가 "계산", 4단계가 "현실로 되돌아오기" — 4단계를 빼면 잘못된 답을 적게 된다.

Core · 1단계 ─ 미지수 설정

표준적인 미지수 설정 패턴

Common Variable Patterns

문제 유형별 미지수 설정 표

문제 유형	표준 미지수 설정
어떤 수 한 개	그 수를 $x$ 라 한다.
연속한 두 자연수	$x$ 와 $x+1$ (또는 $x-1$ 과 $x$)
연속한 두 홀수(짝수)	$x$ 와 $x+2$
연속한 세 자연수	$x-1, x, x+1$
두 자리 자연수 — 십의 자리 $a$, 일의 자리 $b$	수 자체 = $10a + b$
직사각형 — 가로보다 세로가 $k$ 큼	가로 $x$, 세로 $x+k$
정사각형의 한 변	한 변을 $x$, 넓이 $x^2$
도형의 둘레가 일정	가로 $x$, 세로 $(둘레/2 - x)$

팁 — 미지수를 가장 작은 수, 가장 짧은 변에 두는 것이 일반적이다. 그러면 다른 양은 $x + (양수)$ 로 표현되어 식이 깔끔해진다.

Apply · 수의 활용

수의 활용 — 4가지 대표 유형

Applications with Numbers

①연속한 자연수

"연속한 두 자연수의 곱이 90"이라는 조건. 작은 수를 $x$ 라 두고 다음 수 $x+1$ 을 곱한다.

1. 미지수

두 자연수를 $x, x+1$ 이라 한다.

2. 방정식

$x(x+1) = 90 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 90 = 0$

3. 풀이

$(x+10)(x-9) = 0 \;\Rightarrow\; x = -10$ 또는 $x = 9$

4. 검토

자연수 조건 → $x = 9$. 두 수는 9와 10.

②어떤 수의 제곱이 두 배보다 큰 경우

"어떤 자연수의 제곱이 그 수의 4배보다 12 크다." 자연수를 $x$ 라 두자.

방정식

$x^2 = 4x + 12 \;\Rightarrow\; x^2 - 4x - 12 = 0$

풀이

$(x-6)(x+2) = 0 \;\Rightarrow\; x = 6$ 또는 $x = -2$. 자연수 → $x = 6$

③두 자리 자연수의 자릿수 문제

두 자리 자연수에서 십의 자리 숫자를 $a$, 일의 자리 숫자를 $b$ 라 하면, 수 자체는 $10a + b$.

예) "두 자리 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합이 9이고, 그 수가 두 자릿수의 곱의 3배인 두 자리 자연수를 구하라."

미지수

일의 자리 숫자를 $b$, 십의 자리 숫자는 $9 - b$.

방정식

수 = $10(9-b) + b = 90 - 9b$. 조건 → $90 - 9b = 3 \cdot (9-b) \cdot b = 3b(9-b)$.

풀이

$90 - 9b = 27b - 3b^2 \;\Rightarrow\; 3b^2 - 36b + 90 = 0 \;\Rightarrow\; b^2 - 12b + 30 = 0$. 판별식 $D = 144 - 120 = 24$ → 정수해 없음. 문제 조건에 따라 결과 처리.

자릿수 문제는 변수 설정이 까다로울 수 있다. 항상 "이 수는 무엇을 가리키는가?"를 정확히 확인.

Apply · 도형의 활용

도형의 활용 — 3가지 대표 유형

Applications with Geometric Figures

①직사각형의 넓이와 변

"가로가 세로보다 3 cm 긴 직사각형의 넓이가 70 cm². 가로와 세로를 구하라."

미지수

세로 $x$ cm → 가로 $x+3$ cm ($x > 0$)

방정식

넓이 = 가로 × 세로 = $(x+3) \cdot x = 70 \;\Rightarrow\; x^2 + 3x - 70 = 0$

풀이

$(x+10)(x-7) = 0 \;\Rightarrow\; x = 7$ 또는 $x = -10$. 양수 → $x = 7$.

답

세로 7 cm, 가로 10 cm.

②정사각형 — 한 변이 늘어날 때

"정사각형의 한 변을 4 cm 늘렸더니 넓이가 처음 넓이의 4배가 되었다. 처음 한 변의 길이는?"

미지수

처음 한 변 $x$ cm ($x > 0$). 늘린 후 한 변 $x+4$ cm.

방정식

$(x+4)^2 = 4 x^2 \;\Rightarrow\; x^2 + 8x + 16 = 4x^2 \;\Rightarrow\; 3x^2 - 8x - 16 = 0$

풀이

$(3x + 4)(x - 4) = 0 \;\Rightarrow\; x = -\dfrac{4}{3}$ 또는 $x = 4$. 양수 → $x = 4$.

답

처음 한 변 4 cm.

③직각삼각형 — 피타고라스 결합

"직각삼각형의 세 변이 자연수이고, 빗변이 다른 두 변의 합보다 2 짧다. 빗변이 13일 때 세 변을 구하라."

미지수

두 변 중 짧은 변 $x$, 긴 변 $y$. 조건 : $x + y - 2 = 13$ → $y = 15 - x$. 또 $x^2 + y^2 = 169$.

방정식

$x^2 + (15-x)^2 = 169 \;\Rightarrow\; x^2 + 225 - 30x + x^2 = 169 \;\Rightarrow\; 2x^2 - 30x + 56 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 15x + 28 = 0$

풀이

판별식 $D = 225 - 112 = 113$ → $\sqrt{113}$ 무리수. 정수 해 없음. 문제 조건 재검토 필요.

대체 — 5, 12, 13

유명한 피타고라스 수 $(5, 12, 13)$ 검증 : $5+12-2 = 15 \neq 13$. 조건 불일치. 문제 자체를 점검하는 것이 4단계의 본질.

관찰. 활용 문제는 방정식을 푸는 것뿐 아니라, 결과가 조건에 맞는지 항상 확인해야 한다. "정수 해 없음"도 의미 있는 답.

Pitfalls · 답의 검토

4단계의 함정 — 답 검토에서 빠뜨리는 것들

What 4-th Step Catches

실수 01 · 음수 해를 답으로

자연수·길이 조건에서 음수는 답이 될 수 없다

잘못 : "두 해 $x = 9, -10$ → 답: 9, -10"

옳음 : 자연수 조건 → $x = 9$ 만 채택

길이, 자연수, 시간 등은 모두 양수 조건. 음수 해는 의미가 없으므로 버린다.

실수 02 · 단위 누락

답에 단위를 적지 않음

잘못 : "정사각형의 한 변은 7"

옳음 : "정사각형의 한 변은 7 cm"

도형 문제는 반드시 단위를 적는다. 길이는 cm/m, 넓이는 cm²/m².

실수 03 · 미지수와 답을 혼동

$x$ 의 값만 적고 진짜 답을 못 줌

잘못 : "세로가 7, 가로는 (구하지 않음)"

옳음 : "세로 7 cm, 가로 = $x+3$ = 10 cm"

$x$ 를 구한 뒤, 문제가 묻는 모든 양을 끝까지 계산.

Interactive · 실험실

직사각형 활용 문제 시뮬레이터

Rectangle Problem Solver

가로가 세로보다 $k$ 큰 직사각형의 넓이가 $A$ 일 때, 세로와 가로를 구한다.

k (가로−세로) A (넓이)

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. 연속한 두 자연수의 곱이 $90$ 인 두 수를 구하라. (예: 9,10)

Q2. 연속한 두 자연수의 제곱의 합이 $113$ 인 두 수를 구하라.

Q3. 어떤 자연수의 제곱이 그 수의 4배보다 12 크다. 그 수는?

Q4. 가로가 세로보다 2 cm 긴 직사각형의 넓이가 $48$ cm². 세로의 길이는? (단위 없이 숫자만)

Q5. 한 변이 $x$ 인 정사각형의 넓이가 $25$. 한 변의 길이는?

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1

연속한 세 자연수의 제곱의 합이 $50$. 세 수를 구하라.

가운데 수를 $x$ 라 두면 세 수는 $x-1, x, x+1$.

식 : $(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 50$
전개 : $x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 50 \;\Rightarrow\; 3x^2 + 2 = 50$
정리 : $3x^2 = 48 \;\Rightarrow\; x^2 = 16 \;\Rightarrow\; x = \pm 4$
자연수 조건 → $x = 4$
세 수 → $3, 4, 5$
검증 : $9 + 16 + 25 = 50$ ✓

예제 2

정사각형의 가로를 $2$ cm 늘리고 세로를 $3$ cm 줄여 만든 직사각형의 넓이가 처음 정사각형의 넓이와 같다. 처음 정사각형의 한 변을 구하라.

정사각형 한 변 $x$ cm ($x > 3$). 새 직사각형의 가로 $x+2$, 세로 $x-3$.

식 : $(x+2)(x-3) = x^2$
전개 : $x^2 - x - 6 = x^2 \;\Rightarrow\; -x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = -6$
음수이고 양수 조건 $x > 3$ 에 어긋남.
결과 → 조건을 만족하는 정사각형은 존재하지 않는다.
의미 : "가로를 늘리고 세로를 줄여 넓이가 같아지려면" 수치 관계가 맞지 않음을 4단계가 확인.

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

연속한 두 자연수의 곱이 $56$. 두 수를 구하라. (예: 7,8)

02★

연속한 두 홀수의 곱이 $35$. 두 수를 구하라.

03★★

어떤 자연수의 제곱은 그 수의 5배보다 36 크다. 그 수는?

04★★

연속한 세 자연수의 제곱의 합이 $50$. 세 수를 구하라.

05★★

가로가 세로보다 $4$ cm 긴 직사각형의 넓이가 $60$ cm². 세로의 길이는? (cm 없이 숫자만)

06★★

한 변이 $x$ cm 인 정사각형의 넓이가 $100$ cm². 한 변의 길이는? (숫자만)

07★★★

정사각형의 한 변을 $4$ cm 늘렸더니 넓이가 $80$ cm² 증가했다. 처음 한 변의 길이는? [힌트: $(x+4)^2 - x^2 = 80$]

08★★★

직각삼각형의 두 직각변 중 한 변이 다른 변보다 $7$ cm 짧고 빗변이 $13$ cm. 짧은 변의 길이는? [피타고라스 정리]

모델링 — 문장을 식으로, 다시 답으로

활용 문제의 핵심은 식이 아니라 모델링이다. 주어진 문장에서 무엇이 미지수이고 무엇이 조건인지를 정확히 파악해, 식으로 옮기고, 풀고, 다시 현실로 돌아와 답을 검토하는 4단계 절차 — 이것이 모든 수학 활용 문제의 본질이다. 다음 차시에서 실생활의 운동·가격·면적 문제로 확장한다.

"Mathematics begins by translating the world." — anonymous