이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때:
$x^2 - 5x + 6 = 0$ 의 두 근은 $2, 3$. 합은 $5$, 곱은 $6$ — 정확히 일차항 계수에 마이너스를 붙인 값과 상수항이다. 이것이 우연일까?
$x^2 + 3x - 10 = 0$ → 두 근 −5, 2 → 합 = −3 = $-3/1$, 곱 = −10 = $-10/1$ ✓
$2x^2 - 7x + 3 = 0$ → 두 근 3, 1/2 → 합 = 7/2 = $-(-7)/2$, 곱 = 3/2 = $3/2$ ✓
두 가지 방법으로 유도하기
①유도 1 — 인수분해 방식
이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 두 근이 $\alpha, \beta$ 라면, 좌변은 다음과 같이 인수분해된다.
②유도 2 — 근의 공식에서 직접
근의 공식으로부터 두 근을 적은 뒤 합과 곱을 계산해도 같은 결과가 나온다.
대칭식의 계산 — 합과 곱만 알면 된다
대칭식이란 — $\alpha, \beta$ 를 바꿔도 같은 식
$\alpha^2 + \beta^2$, $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$, $(\alpha - \beta)^2$ 등은 $\alpha, \beta$ 의 순서를 바꿔도 값이 변하지 않는다. 이런 식을 대칭식이라 하며, 합 $\alpha+\beta$ 와 곱 $\alpha\beta$ 만 알면 모두 계산할 수 있다.
| 대칭식 | 합·곱으로 표현 | 유도 키 |
|---|---|---|
| $\alpha^2 + \beta^2$ | $(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ | $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ |
| $(\alpha-\beta)^2$ | $(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ | $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$ |
| $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$ | $\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ | 통분 — 분모 $\alpha\beta$ |
| $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ | $\alpha\beta(\alpha+\beta)$ | 공통인수 $\alpha\beta$ 묶기 |
| $\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}$ | $\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta} = \dfrac{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$ | 통분 후 분자 변형 |
예시 — $x^2 - 5x + 6 = 0$ 의 두 근 $\alpha, \beta$ 에 대해
$\alpha + \beta = 5, \;\; \alpha\beta = 6$
두 근으로 이차방정식 만들기 — 역방향 활용
두 근 $\alpha, \beta$ 가 주어졌을 때
$x^2$ 의 계수가 $1$ 인 이차방정식은 — "$x^2 - $ (두 근의 합) $\cdot x + $ (두 근의 곱) $= 0$" — 이라는 공식으로 즉시 만들 수 있다.
- 예) 두 근이 $2, 3$ → 합 5, 곱 6 → $x^2 - 5x + 6 = 0$
- 예) 두 근이 $-1, 4$ → 합 3, 곱 −4 → $x^2 - 3x - 4 = 0$
- 예) 두 근이 $1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$ → 합 2, 곱 $1-2=-1$ → $x^2 - 2x - 1 = 0$
근과 계수 관계 계산기
$a, b, c$ 를 입력하면 두 근의 합·곱과 5가지 대칭식을 즉시 계산한다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$2x^2 - 3x - 7 = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때 $\alpha^2 + \beta^2$ 의 값을 구하라.
- $a = 2, b = -3, c = -7$
- 합 $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2}$
- 곱 $\alpha\beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-7}{2}$
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot\left(-\dfrac{7}{2}\right)$
- $= \dfrac{9}{4} + 7 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{28}{4} = \dfrac{37}{4}$
- 결과 → $\dfrac{37}{4}$
$x^2 + (a-3)x + 2a = 0$ 의 두 근의 합이 $5$ 일 때, 두 근의 곱을 구하라.
- 두 근의 합 $= -(a-3) = 5$ → $a - 3 = -5$ → $a = -2$
- $a = -2$ 대입 → 방정식 : $x^2 + (-2-3)x + 2(-2) = 0$ → $x^2 - 5x - 4 = 0$
- 두 근의 곱 $= \dfrac{-4}{1} = -4$
- 결과 → $-4$
난이도별 연습 8문제
$x^2 - 7x + 10 = 0$ 의 두 근의 합을 구하라.
$x^2 - 7x + 10 = 0$ 의 두 근의 곱을 구하라.
$2x^2 + 3x - 1 = 0$ 의 두 근의 합을 구하라.
$2x^2 + 3x - 1 = 0$ 의 두 근의 곱을 구하라.
$x^2 - 7x + 10 = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때 $\alpha^2 + \beta^2$ 의 값을 구하라.
$x^2 - 7x + 10 = 0$ 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때 $(\alpha - \beta)^2$ 의 값을 구하라.
두 근이 $7, -2$ 인 이차방정식($x^2$ 계수 1)을 만들어라. (예: x^2-5x-14=0)
두 근이 $2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$ 인 이차방정식($x^2$ 계수 1)을 만들어라.
비에트의 통찰 — 풀지 않고도 안다
근을 직접 구하는 대신 합과 곱만으로 식의 값을 알아내는 것 — 이 우아한 통찰이 비에트가 1591년에 발견한 정리다. 무리수 해여도, 분수 해여도, 합과 곱이라는 두 숫자만 알면 거의 모든 것이 계산된다. 다음 차시에서는 이차방정식을 실제 수와 도형 문제에 적용한다.