2.1 사건과 경우의 수

HOOK

확률을 세는 것부터 시작한다

Before probability can be computed, all the possibilities must be counted.

확률 $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$. 분모와 분자가 모두 경우의 수입니다. 확률을 계산하기 위해서는 먼저 일어날 수 있는 모든 경우를 빠짐없이 — 그리고 중복 없이 — 세야 합니다.

경우의 수를 세는 데에는 두 가지 강력한 도구가 있습니다 — 합의 법칙(덧셈)과 곱의 법칙(곱셈). 언제 더하고 언제 곱하는지를 구분하는 것이 이 차시의 핵심입니다.

합의 법칙: 동시에 일어나지 않는 두 사건 — 둘 중 하나만 일어남 → 더한다.
곱의 법칙: 잇따라 일어나는 두 사건 — 둘 다 일어남 → 곱한다.

"또는" → $+$, "그리고" → $\times$

CORE CONCEPT

기본 용어

Before counting, we need precise language.

DEFINITIONS · 정의

확률 단원의 기본 용어

경우의 수와 확률을 다루기 전에 — 정확한 언어가 필요합니다.

시행

Trial / Experiment

같은 조건에서 반복할 수 있고, 결과를 미리 알 수 없는 행위. 예: 동전 던지기, 주사위 굴리기.

사건

Event

시행 결과 중 어떤 특정한 결과들의 집합. 예: "주사위 짝수가 나옴" = {2, 4, 6}.

표본공간

Sample Space ($S$)

시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합. 주사위: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

경우의 수

Number of Cases

사건이 일어날 수 있는 방법의 가짓수. $n(A)$로 표기.

TWO COUNTING LAWS

경우의 수의 두 법칙

Two simple rules — combined, they count anything.

01 SUM RULE · 합의 법칙

"또는" → 더한다

두 사건 $A, B$가 동시에 일어나지 않을 때(배반사건일 때) — 사건 $A$ 또는 사건 $B$가 일어나는 경우의 수는 두 경우의 수의 합.

$n(A \text{ 또는 } B) = n(A) + n(B)$
(단, $A$와 $B$가 동시에 일어나지 않을 때)

예시: 가방에 빨간 공 $3$개, 파란 공 $4$개. 공을 한 개 꺼낼 때 빨강이 나오는 경우($3$가지)와 파랑이 나오는 경우($4$가지)는 동시에 일어나지 않음. → 빨강 또는 파랑이 나오는 경우의 수 $= 3 + 4 = 7$.

02 PRODUCT RULE · 곱의 법칙

"그리고 (잇따라)" → 곱한다

두 사건 $A, B$가 잇따라 일어날 때 — $A$가 일어난 뒤 이어서 $B$가 일어나는 경우의 수는 두 경우의 수의 곱.

$n(A \text{ 이고 } B) = n(A) \times n(B)$
(서로 영향 주지 않을 때)

예시: 윗옷 $3$종류, 바지 $4$종류. 윗옷을 한 번 고르고($3$가지), 그 다음 바지를 고른다($4$가지) → 각 윗옷마다 $4$가지 바지가 가능 → 전체 코디 가짓수 $= 3 \times 4 = 12$.

WHEN TO USE WHICH

언제 +이고 언제 ×인가?

The most common mistake — picking the wrong rule.

두 법칙의 분기점

합의 법칙 · "또는"

한 번의 선택에서 둘 중 하나

선택 종류가 1번

✓ 가방에서 공을 한 개 꺼낼 때 빨강 또는 파랑

✓ 주사위 1번 던질 때 짝수 또는 5

✓ 1~10 중 한 수를 골라 3의 배수 또는 5의 배수

두 사건이 겹치지 않음(배반사건)을 확인.

곱의 법칙 · "그리고"

두 가지 선택을 연달아

선택 종류가 2번 이상

✓ 동전 1개 + 주사위 1개 동시에

✓ 윗옷 고른 후 바지 고름

✓ 주사위 두 번 던지기 (1차·2차)

각 단계가 독립 (서로 영향 안 줌).

💡 기억 법: 문제에 "또는"·"중 하나"가 나오면 → +. "그리고"·"동시에"·"잇따라" 나오면 → ×.

INTERACTIVE

동전 + 주사위 격자 시각화

Pick an event and watch its cells light up — counting is just seeing how many are lit.

COIN × DICE GRID

동전 1개와 주사위 1개의 모든 경우 — $2 \times 6 = 12$

아래 사건 단추를 누르면 그 사건에 해당하는 칸에 불이 켜집니다. 칸을 직접 눌러 하나씩 골라 셀 수도 있습니다.

동전 · 앞면 (H)

6 cases · 불 켜진 칸 0

동전 · 뒷면 (T)

6 cases · 불 켜진 칸 0

모든 경우 — 불 켜진 칸 12가지

동전 2가지 × 주사위 6가지 → 곱의 법칙 2 × 6 = 12

✓ 총 경우의 수 $= 6 + 6 = $ 12 (합의 관점: 앞면 6 또는 뒷면 6)
✓ 또는 $= 2 \times 6 = $ 12 (곱의 관점: 동전 2 × 주사위 6)
두 법칙의 결과가 같음 — 시각화의 두 방향

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on counting.

Q · 01

주사위 한 개를 던질 때 짝수가 나오는 경우의 수는?

풀이: 짝수 = $\{2, 4, 6\}$ → 3가지.

Q · 02

동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는?

풀이: 곱의 법칙 — 동전 2가지 × 주사위 6가지 = $2 \times 6 = $ 12.

Q · 03

가방에 빨강 공 $5$개, 파랑 공 $4$개. 한 개 꺼낼 때 빨강 또는 파랑이 나오는 경우의 수?

풀이: 합의 법칙 — 한 번 꺼낼 때 동시에 두 색이 나올 수 없음 → $5 + 4 = $ 9.

Q · 04

동전 3개를 동시에 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는?

풀이: 각 동전 2가지(앞/뒤) → 곱의 법칙: $2 \times 2 \times 2 = $ 8.

Q · 05

"$A$ 또는 $B$"(둘이 동시에 일어나지 않음)의 경우의 수를 구할 때 사용하는 법칙은?

풀이: "또는" — 둘 중 하나 → 합의 법칙 (+).

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying the sum and product rules.

EXAMPLE · 01 · 합의 법칙

가방에 빨간 공 $3$개, 파란 공 $4$개, 노란 공 $2$개가 들어 있다. 가방에서 공을 한 개 꺼낼 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 구하라.

핵심: "공 한 개"를 꺼내므로 한 번에 한 색만 나옴 — 동시 발생 없음 → 합의 법칙.

STEP 1 · 각 사건의 경우의 수

빨강 공이 나오는 경우 $= 3$가지, 파랑 공 $= 4$가지, 노랑 공 $= 2$가지.

STEP 2 · 합의 법칙

세 사건이 동시에 일어나지 않으므로 모두 더한다: $3 + 4 + 2 = 9$.

답: 모든 경우의 수 $= 9$

EXAMPLE · 02 · 곱의 법칙

윗옷 $4$종류와 바지 $3$종류가 있다. 윗옷과 바지를 한 벌씩 골라 옷차림을 만들 때 가능한 옷차림은 모두 몇 가지인가?

핵심: 윗옷을 고른 뒤 이어서 바지를 고름 — 두 단계의 잇따른 선택 → 곱의 법칙.

STEP 1 · 각 단계의 경우의 수

윗옷 고르는 경우 $= 4$가지, 그 각각에 대해 바지 고르는 경우 $= 3$가지.

STEP 2 · 곱의 법칙

모든 옷차림 $= 4 \times 3 = 12$.

답: $12$가지

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

주사위 한 개를 던질 때 짝수가 나오는 경우의 수는?

힌트: 주사위 눈 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 을 적어 놓고 짝수에만 표시해 보자. 표시한 개수가 곧 경우의 수다.

P · 02★

동전 1개와 주사위 1개를 동시에 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는?

힌트: 동전은 앞·뒤로 몇 가지인지, 주사위는 몇 가지인지 따로 세어 보자. 두 시행이 잇따라 일어나므로 곱의 법칙이다.

P · 03★

$1$부터 $10$까지의 자연수 중 $7$의 배수의 개수는?

힌트: $7$의 배수를 $7, 14, 21, \dots$ 처럼 차례로 써 내려가다 $10$ 을 넘으면 멈춘다. $10$ 이하에 남은 것이 몇 개인가?

P · 04★★

주사위 한 개를 던질 때 $3$의 배수 또는 $5$가 나오는 경우의 수는?

힌트: 주사위 눈 $1$ 부터 $6$ 까지 중에서 $3$의 배수를 먼저 적어 보자. $5$ 는 그 안에 들어 있는가? 두 사건이 겹치지 않는다면 각각의 경우의 수를 더하면 된다.

P · 05★★

가방에 빨강 공 $5$개, 파랑 공 $4$개. 공을 한 개 꺼낼 때 빨강 또는 파랑이 나오는 경우의 수는?

힌트: 공을 한 개만 꺼내므로 빨강과 파랑이 동시에 나올 수는 없다. 겹치지 않는 두 사건이니 합의 법칙 — 두 색의 개수를 어떻게 해야 할까?

P · 06★★

동전 3개를 동시에 던질 때 일어날 수 있는 경우의 수는?

힌트: 동전 한 개마다 앞·뒤 두 가지다. 동전이 세 개이니 그 두 가지가 몇 번 잇따라 곱해지는지 세어 보자. 첫째 동전이 앞면일 때 나머지 두 개는 몇 가지인지부터 따져도 좋다.

P · 07★★★

윗옷 $3$종류, 바지 $5$종류, 모자 $2$종류가 있다. 윗옷·바지·모자를 한 가지씩 골라 코디할 때 가능한 가짓수는?

힌트: 윗옷을 하나 정하고 나면 바지는 몇 가지인가? 윗옷과 바지를 정하고 나면 모자는 몇 가지인가? 단계가 셋이어도 곱의 법칙은 그대로 — 단계마다 이어서 곱해 나간다.

P · 08★★★

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때 두 눈의 합이 $7$이 되는 경우의 수는?

힌트: 가로에 첫 번째 주사위의 눈 $1$ 부터 $6$, 세로에 두 번째 주사위의 눈 $1$ 부터 $6$ 을 놓아 $6 \times 6$ 표를 그려 보자. 합이 $7$ 인 칸은 한 줄로 나란히 늘어선다. 두 주사위는 서로 구별되므로 $(2,5)$ 와 $(5,2)$ 는 다른 경우다.

사건과 경우의 수