"All shadows speak the same geometry, and chance speaks its own arithmetic."
— 크기는 달라도 모양은 같은 닮음의 세계, 그리고 우연 속에서 발견하는 질서의 수학 — 확률. 2학년의 마지막 여정.
Where similar shapes meet random chance — two ideas, one chapter.
Ⅴ단원에서 우리는 도형의 합동을 다뤘습니다 — 모양과 크기가 모두 같은 도형. 이번 단원에서는 합동을 한 단계 확장한 닮음을 만납니다. 닮은 도형은 크기는 다르지만 모양은 같다 — 한 도형을 일정한 비율로 늘이거나 줄인 것.
닮음은 단순한 시각적 개념이 아닙니다. 대응변의 비, 닮음비의 제곱이 곧 넓이의 비, 세제곱이 곧 부피의 비라는 강력한 법칙을 따릅니다. 또한 삼각형의 닮음 조건(SSS·, SAS·, AA·)으로 작은 정보만으로도 두 도형의 닮음 여부를 판정합니다.
단원의 후반부에서는 전혀 다른 수학의 영역으로 — 확률입니다. 동전을 던지거나 주사위를 굴렸을 때 결과를 예측할 수 없는 우연의 사건들. 그 속에서도 일정한 비율과 패턴 — 즉 확률 — 을 찾아낼 수 있습니다. $P(A) = \dfrac{\text{경우의 수 (사건 A)}}{\text{모든 경우의 수}}$ — 이 한 식이 우연을 수학적으로 다스립니다.
고대 그리스의 수학자 탈레스는 이집트 여행 중 거대한 피라미드의 높이를 잰 첫 인물로 전해집니다. 사다리를 타고 올라간 것이 아닙니다 — 그는 닮음의 원리를 이용했습니다. 자신의 그림자가 자기 키와 같아진 순간, 피라미드의 그림자 길이도 그 피라미드의 높이와 같음을 알아챘죠. 두 직각삼각형이 닮았기 때문입니다. 한편 16세기 카르다노와 17세기 페르마·파스칼은 도박 문제에서 확률의 수학적 이론을 개척했습니다. 닮음과 확률 — 한쪽은 도형의 비례, 한쪽은 사건의 비례. 둘 다 결국 비율의 수학입니다.
Similarity first, then the world of probability.