1.3 평행선과 선분의 비

HOOK

삼각형 안에 평행선을 그으면 무슨 일이?

A line parallel to one side cuts the other two sides in equal ratios.

삼각형 $\triangle ABC$의 변 $\overline{BC}$와 평행한 한 직선이 다른 두 변 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$를 각각 점 $D$, $E$에서 만났다고 합시다. $D$가 $\overline{AB}$의 어느 위치에 있든, $E$의 위치도 같은 비율로 결정됩니다.

이것이 평행선과 선분의 비의 정리입니다. $\overline{DE}$가 $\overline{BC}$와 평행이라는 단순한 조건에서 — 잘린 두 변의 비례 관계, 작은 삼각형과 큰 삼각형의 닮음, 그리고 가장 우아한 결과인 중점연결정리까지 모두 따라옵니다.

이 모든 것의 비밀은 결국 1.2의 AA 닮음입니다. $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이면 동위각이 같아 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$가 되고, 닮은 도형의 대응변의 비가 일정하다는 사실로부터 모든 결과가 도출됩니다.

$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ ⟹ $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$

CORE CONCEPT

평행선이 만드는 비례 관계

Three forms of the same ratio theorem.

THEOREM 1 · 삼각형 안의 평행선

평행선이 두 변을 같은 비율로 나눈다

$\triangle ABC$에서 $\overline{BC}$와 평행한 직선이 $\overline{AB}, \overline{AC}$를 각각 점 $D, E$에서 만나면 — 세 가지 형태의 비례식이 성립합니다.

세 가지 비례식 (모두 동치)

① $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$ (잘린 비)
② $\overline{AD} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{AC}$ (전체 대비)
③ $\overline{AD} : \overline{AB} = \overline{DE} : \overline{BC}$ (닮음비)

PROOF · 정리 1의 증명

$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$일 때 $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$임을 보이라.

$\triangle ADE$와 $\triangle ABC$에서

$\angle A$ 공통
$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이므로 동위각 $\angle ADE = \angle ABC$

⟹ AA 닮음에 의해 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$. 따라서 대응변의 비가 일정:

$\overline{AD} : \overline{AB} = \overline{AE} : \overline{AC}$

이 식에서 $\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{DB}$, $\overline{AC} = \overline{AE} + \overline{EC}$를 대입하고 정리하면 $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$. Q.E.D.

CONVERSE · 역도 성립

비례식이 성립하면 평행

$\triangle ABC$에서 점 $D, E$가 각각 $\overline{AB}, \overline{AC}$ 위에 있고 $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$이면, $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$. 정리 1의 역도 성립합니다.

$\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$ ⟹ $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$

THEOREM 2 · 세 평행선과 두 직선

세 평행선이 두 직선을 비례 분할

세 평행선 $\ell, m, n$이 두 직선과 만나서 만들어진 선분의 길이는 비례합니다. 어떤 직선에 대해서도 같은 비.

세 평행선이 만드는 비례

$a : b = a' : b'$
The same ratio appears on both transversals.

한 직선 위의 분할 비와 다른 직선 위의 분할 비가 같다.

FAMOUS COROLLARY

중점연결정리 — 한 변의 절반

A line connecting two midpoints is parallel to the third side and half its length.

MIDPOINT THEOREM · 중점연결정리

두 변의 중점을 잇는 선분은 밑변과 평행하고 길이가 절반

$\triangle ABC$의 두 변 $\overline{AB}, \overline{AC}$의 중점을 각각 $M, N$이라 하면, $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{MN} = \dfrac{1}{2} \overline{BC}$. 단원 전체에서 가장 유명한 결과 중 하나입니다.

두 가지 결론 동시에

① $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$ (평행)
② $\overline{MN} = \dfrac{1}{2} \overline{BC}$ (절반)

증명 요약: $\overline{AM}:\overline{AB} = \overline{AN}:\overline{AC} = 1:2$ → 정리 1의 역으로 $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$. 그리고 닮음비 $1:2$이므로 $\overline{MN} = \overline{BC}/2$.

INTERACTIVE

평행선 탐험기

Slide point $D$ along $\overline{AB}$ — see how $E$ moves to keep $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$.

PARALLEL LINE EXPLORER

$\overline{AD} : \overline{AB}$ 비율을 바꿔 보세요

$\overline{AD} / \overline{AB}$ 비율

$t$ = 0.50

$\overline{AB} = 200, \overline{AC} = 180, \overline{BC} = 240$ (고정)
$\overline{AD} = $ 100
$\overline{AE} = $ 90 (같은 비율로)
$\overline{DE} = $ 120 ($t \cdot \overline{BC}$)
$\overline{AD}:\overline{DB} = \overline{AE}:\overline{EC}$ 항상 성립 ✓

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on parallels and segment ratios.

Q · 01

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AD} = 3$, $\overline{DB} = 5$이면 $\overline{AE} : \overline{EC} = ?$

풀이: 평행선과 선분의 비 — $\overline{AD}:\overline{DB} = \overline{AE}:\overline{EC} = 3:5$.

Q · 02

중점연결정리에 의하면 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과?

풀이: 두 중점을 잇는 선분은 평행하고 길이가 절반.

Q · 03

$\triangle ABC$의 두 변 $\overline{AB}, \overline{AC}$의 중점을 각각 $M, N$이라 하자. $\overline{BC} = 14$일 때 $\overline{MN}$의 길이는?

풀이: 중점연결정리 — $\overline{MN} = \dfrac{\overline{BC}}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$.

Q · 04

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AD} = 4$, $\overline{DB} = 6$, $\overline{AE} = 6$이다. $\overline{EC}$의 길이는?

풀이: 평행선의 비 — $\overline{AD}:\overline{DB} = \overline{AE}:\overline{EC}$이므로 $4 : 6 = 6 : \overline{EC}$. 외항·내항의 곱이 같아 $4 \cdot \overline{EC} = 6 \cdot 6 = 36$, 따라서 $\overline{EC} = 9$.

Q · 05

$\triangle ABC$에서 점 $D, E$가 각각 $\overline{AB}, \overline{AC}$ 위에 있고 $\overline{AD} = 2$, $\overline{DB} = 4$, $\overline{AE} = 3$, $\overline{EC} = 6$이다. $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$인가?

풀이: $\overline{AD}:\overline{DB} = 2:4 = 1:2$, $\overline{AE}:\overline{EC} = 3:6 = 1:2$. 두 비가 같으므로 역 정리에 의해 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying the parallel-ratio theorem.

EXAMPLE · 01

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AD} = 4$, $\overline{DB} = 6$, $\overline{BC} = 15$이다. $\overline{DE}$의 길이를 구하라.

핵심: $\overline{AD} : \overline{AB} = \overline{DE} : \overline{BC}$ (닮음비 형태).

STEP 1 · 닮음비

$\overline{AB} = \overline{AD} + \overline{DB} = 4 + 6 = 10$. 닮음비 $\overline{AD} : \overline{AB} = 4 : 10 = 2 : 5$.

STEP 2 · $\overline{DE}$ 계산

$\overline{DE} : \overline{BC} = 2 : 5$이므로 $\overline{DE} : 15 = 2 : 5$ → $5 \overline{DE} = 30$ → $\overline{DE} = 6$.

답: $\overline{DE} = 6$

EXAMPLE · 02

$\triangle ABC$에서 $\overline{AB}, \overline{AC}, \overline{BC}$의 중점을 각각 $M, N, P$라 하자. $\overline{AB} = 14, \overline{BC} = 12, \overline{CA} = 10$일 때 $\triangle MNP$의 둘레를 구하라.

핵심: 중점연결정리를 세 변에 모두 적용.

STEP 1 · 세 변의 중점이 만드는 작은 삼각형

$M$이 $\overline{AB}$의 중점, $N$이 $\overline{AC}$의 중점 → 중점연결정리에 의해 $\overline{MN} = \dfrac{1}{2} \overline{BC} = 6$.

$N$이 $\overline{AC}$의 중점, $P$가 $\overline{BC}$의 중점 → $\overline{NP} = \dfrac{1}{2} \overline{AB} = 7$.

$M$이 $\overline{AB}$의 중점, $P$가 $\overline{BC}$의 중점 → $\overline{MP} = \dfrac{1}{2} \overline{AC} = 5$.

STEP 2 · 둘레

$\triangle MNP$의 둘레 $= 6 + 7 + 5 = 18$.

답: $\triangle MNP$의 둘레 $= 18$ (원래 삼각형 둘레의 절반!)

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AD} = 3$, $\overline{DB} = 5$이다. $\overline{AE} : \overline{EC}$의 값은? (예: 3:5)

힌트: 평행선 → 같은 비.

P · 02★

중점연결정리 — 한 변의 중점을 연결한 선분의 길이는 밑변의 몇 배인가? (분수)

힌트: 두 중점 → 닮음비 1:2 → 길이는?

P · 03★

$\triangle ABC$의 두 변의 중점 $M, N$. $\overline{BC} = 14$이면 $\overline{MN}$은?

힌트: 중점연결정리 — 밑변의 절반.

P · 04★★

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$이고 $\overline{AD} = 6, \overline{DB} = 4, \overline{AE} = 9$이다. $\overline{EC}$의 길이는?

힌트: $6:4 = 9:\overline{EC}$ — 외항·내항 곱 같음.

P · 05★★

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, $\overline{AD} = 4, \overline{AB} = 10, \overline{BC} = 15$. $\overline{DE}$의 길이는?

힌트: 닮음비 $\overline{AD}:\overline{AB} = \overline{DE}:\overline{BC}$ → $4:10 = \overline{DE}:15$.

P · 06★★

$\triangle ABC$에서 점 $D, E$가 각각 $\overline{AB}, \overline{AC}$ 위에 있고 $\overline{AD} = 4, \overline{AB} = 12, \overline{AE} = 3, \overline{AC} = 9$이다. $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$인가? (예/아니오)

힌트: $\overline{AD}:\overline{AB} = 4:12 = 1:3$, $\overline{AE}:\overline{AC} = 3:9 = 1:3$. 같으면 평행 (역 정리).

P · 07★★★

$\triangle ABC$에서 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, $\overline{AD}:\overline{DB} = 2:3$. $\triangle ADE : \triangle ABC$의 넓이비는? (예: 4:25)

힌트: 닮음비 $\overline{AD}:\overline{AB} = 2:5$. 넓이비는 닮음비의 제곱.

P · 08★★★

세 평행선이 두 직선과 만나서 만든 선분이 한 직선에서는 $4, 8$이고 다른 직선에서는 $6, x$이다. $x$의 값은?

힌트: $4:8 = 6:x$ — 같은 비. $4x = 48$.

평행선과 선분의 비