LESSON 2.4 · UNIT Ⅳ-2
2.4

일차함수의 활용

Real-World Applications — Modeling Linear Change

일정한 변화를 가진 모든 것 — 거리·온도·요금·양 — 일차함수로 모델링한다.

HOOK · 시작 질문

세상의 일정한 변화는 일차함수

Anything changing at a constant rate is a linear function.

A LITTLE OBSERVATION
자동차가 시속 $60$km로 달린다. 출발 $x$시간 후 위치 $y$km는?

간단합니다 — $y = 60x$. 시간이 흐르면 거리가 일정하게 늘어납니다. 일차함수입니다.

양초가 $30$cm에서 시작해 매분 $2$cm씩 짧아진다면? $y = 30 - 2x$. 통에 $10$L의 물이 있고 매분 $5$L씩 들어가면? $y = 5x + 10$.

공통점은? 변화율(기울기)이 일정하고, 시작값($y$절편)이 명확한 것. 세상에는 이런 일정한 변화가 곳곳에 있고, 그 모두가 일차함수로 묘사됩니다.

이 차시는 일차함수의 실생활 활용입니다. 핵심은 두 가지 — 변화율(기울기)과 시작값($y$절편)을 문장에서 찾아내는 것.

SCENARIOS · 주요 유형

자주 나오는 4가지 유형

Four common scenarios — recognize the pattern.

TYPE A
거리 · 시간
등속 운동. 기울기 = 속도, $y$절편 = 출발 위치.
$y = vx + s_0$
시속 60km, 출발지 0 → $y = 60x$
TYPE B
양초 · 감소
매분 일정량 감소. 기울기는 음수, $y$절편 = 처음 길이.
$y = -2x + 30$
처음 30cm, 매분 2cm 짧아짐
TYPE C
수조 · 증가
물이 일정량씩 들어옴. 기울기 양수, $y$절편 = 처음 양.
$y = 5x + 10$
처음 10L, 매분 5L씩 채움
TYPE D
요금 · 기본료
기본료 + 사용량당 추가. 기울기 = 단가, $y$절편 = 기본료.
$y = 100x + 5000$
기본 5000원 + 분당 100원

모델링 5단계: ① $x$, $y$ 정의 → ② 기울기 찾기 (단위 변화량) → ③ $y$절편 찾기 (시작값) → ④ 식 $y = ax + b$ → ⑤ 질문에 답.

WORKED DEMO · 시연

단계별 시연

Two complete walkthroughs.

시연 ① · 양초의 길이
양초의 처음 길이가 $30$cm이고, 매분 $2$cm씩 짧아진다. $10$분 후 양초의 길이는?
STEP 1. $x$ = 시간(분), $y$ = 양초 길이(cm).
STEP 2. 매분 $2$cm 짧아짐 → 기울기 $-2$.
STEP 3. 처음 길이 $30$cm → $y$절편 $30$.
STEP 4. $y = -2x + 30$.
STEP 5. $x = 10$일 때 $y = -20 + 30 = 10$cm.
▶ 답: 10분 후 양초 길이 = $10$cm
시연 ② · 요금 문제
기본료 $5000$원에 $1$분당 $100$원이 추가되는 요금제가 있다. $7000$원 이내로 통화할 수 있는 최대 시간은?
STEP 1. $x$ = 통화 시간(분), $y$ = 요금(원).
STEP 2. $y = 100x + 5000$.
STEP 3. 조건: $y \le 7000$ → $100x + 5000 \le 7000$.
STEP 4. $100x \le 2000$ → $x \le 20$.
▶ 답: 최대 $20$분
QUICK CHECK · 빠른 확인

바로 확인하기

5 quick warm-ups.

QC-01 · 식 세우기
시속 $60$km로 $x$시간 동안 간 거리 $y$km의 식?
▼ 클릭하여 답 보기
▶ $\mathbf{y = 60x}$.
QC-02 · 감소 모델
처음 $40$cm 양초, 매분 $4$cm씩 짧아짐. $x$분 후 길이의 식?
▼ 클릭하여 답 보기
▶ $\mathbf{y = -4x + 40}$.
QC-03 · 값 계산
$y = 30 - 2x$에서 $x = 5$일 때 $y$?
▼ 클릭하여 답 보기
$30 - 10 = \mathbf{20}$cm.
QC-04 · 역방향
양초가 모두 타려면? $y = 30 - 2x = 0$ → $x = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
$30 = 2x$ → $x = \mathbf{15}$분.
QC-05 · 요금
기본료 $3000$원 + 분당 $50$원. $20$분 통화 요금?
▼ 클릭하여 답 보기
$y = 50x + 3000 = 50(20) + 3000 = \mathbf{4000}$원.
WORKED EXAMPLES · 예제

함께 풀어보기

Two examples — typical real-world scenarios.

EXAMPLE 01
수조 채우기
수조에 처음 물이 $10$L 있다. $1$분에 $5$L씩 물이 들어온다고 할 때, $50$L가 될 때까지 몇 분 걸리는가?
1
$x$ = 시간(분), $y$ = 물의 양(L). $y = 5x + 10$.
2
$y = 50$일 때: $50 = 5x + 10$ → $5x = 40$ → $x = 8$.
▶ 답: $8$분
EXAMPLE 02
양초의 소진 시간
양초의 길이가 시간에 따라 일차함수로 변한다. $0$분일 때 $24$cm, $5$분 후 $14$cm가 되었다. 양초가 완전히 타는 시간은?
1
두 점 $(0, 24), (5, 14)$. 기울기 $= (14 - 24)/(5 - 0) = -2$.
2
$y = -2x + 24$ (점 $(0, 24)$가 $y$절편).
3
양초가 모두 타면 $y = 0$: $0 = -2x + 24$ → $x = 12$.
▶ 답: $12$분 후
PRACTICE · 연습 문제

스스로 풀어보기

8 problems graded by difficulty.

P-01
★ 등속
자동차가 시속 $60$km로 $x$시간 동안 간 거리 $y$km. 식은? (형식: y=60x)
SOLUTION

거리 = 속도 × 시간 → $y = 60x$.

P-02
★ 양초
처음 $30$cm 양초가 매분 $2$cm씩 짧아진다. $x$분 후 길이 $y$cm의 식? (형식: y=-2x+30)
SOLUTION

$y$절편 30, 기울기 $-2$. ▶ $y = -2x + 30$.

P-03
★ 수조
통에 처음 $10$L 물이 있고 매분 $5$L씩 채워진다. $x$분 후 물의 양 $y$L의 식? (형식: y=5x+10)
SOLUTION

$y$절편 10, 기울기 $+5$. ▶ $y = 5x + 10$.

P-04
★★ 등속 거리
자동차가 등속운동으로 $2$시간에 $120$km를 갔다. $4$시간 후 간 거리는? (답: 숫자만, km)
SOLUTION

시속 $60$km. $y = 60 \times 4 = 240$km.

P-05
★★ 양초 값
처음 $30$cm 양초가 매분 $2$cm씩 짧아진다. $10$분 후 양초의 길이는? (답: 숫자만, cm)
SOLUTION

$y = -2(10) + 30 = 10$.

P-06
★★ 수조 시간
처음 $10$L에서 매분 $5$L씩 채워지는 수조가 $50$L가 되는 시간은? (답: 숫자만, 분)
SOLUTION

$50 = 5x + 10$ → $5x = 40$ → $x = 8$.

P-07
★★★ 요금 최대 시간
기본료 $5000$원 + 분당 $100$원. $7000$원 이내로 통화 가능한 최대 시간은? (답: 숫자만, 분)
SOLUTION

$100x + 5000 \le 7000$ → $x \le 20$. 최대 $20$분.

P-08
★★★ 두 점 → 소진 시간
양초 길이가 일차함수로 변한다. $0$분에 $24$cm, $5$분 후 $14$cm. 완전히 타는 시간은? (답: 숫자만, 분)
SOLUTION

기울기 $(14-24)/5 = -2$. $y = -2x + 24$.

$y = 0$: $0 = -2x + 24$ → $x = 12$.

LESSON 2.4 · WRAP-UP
한 줄로 정리하면

일정한 변화를 가진 모든 것은 일차함수 $y = ax + b$로 모델링됩니다. 핵심은 두 가지 — 기울기 $a$(단위 시간당 변화량)와 $y$절편 $b$(시작값)을 문장에서 찾는 것. 거리·온도·요금·양 — 모든 일정한 변화는 이 단순한 식 하나로 표현됩니다. 이로써 Ⅳ-2의 핵심 활용이 모두 완성됩니다.