1.4 일차함수 그래프 그리기 · Ⅳ-1. 일차함수와 그 그래프

HOOK · 시작 질문

직선은 두 점만 알면 된다

Two points determine a line — Euclid's first postulate.

A LITTLE PRINCIPLE

$y = 2x - 4$의 그래프를 그리려면? 두 점만 찾으면 끝!

직선의 가장 기본 성질 — 두 점이 결정하는 도형은 단 하나의 직선입니다 (유클리드의 첫 번째 공준). 따라서 어떤 일차함수든 그래프 위의 두 점만 찾아 연결하면 그래프 완성.

가장 쉬운 두 점은? — $x$절편과 $y$절편입니다. 각 축 위의 한 점씩이라 좌표가 깔끔합니다. $y = 2x - 4$의 $y$절편은 $-4$ ($x=0$일 때), $x$절편은 $2$ ($y=0$일 때). $(0, -4)$와 $(2, 0)$ 두 점을 잇기만 하면 됩니다.

이 차시에서는 일차함수 그래프를 그리는 두 가지 표준 방법을 익힙니다.

TWO METHODS · 두 가지 방법

그래프 그리는 법

Two reliable methods. Choose whichever fits.

METHOD ① · 두 절편

$x$절편과 $y$절편으로

STEPS

① $y = 0$ 대입 → $x$절편 $(p, 0)$
② $x = 0$ 대입 → $y$절편 $(0, q)$
③ 두 점을 좌표평면 위에 찍어 직선으로 연결

장점: 가장 간단. 두 절편의 좌표가 깔끔할 때 빠르다.
단점: $b = 0$일 때 ($y = ax$) 두 절편이 모두 $(0, 0)$ → 한 점밖에 안 됨.

METHOD ② · 한 점 + 기울기

한 점 + 기울기

STEPS

① 한 점 ($y$절편 $(0, b)$ 추천) 찍기
② 기울기 $a = \dfrac{y증가}{x증가}$ 만큼 이동
(예: $a = 2$ → 오른쪽 $1$, 위로 $2$)
③ 새 점에서 직선으로 연결

장점: 어떤 경우에도 적용 가능. 기울기의 의미가 그대로 그림에 나타남.
활용: $y = ax$ 형태에 특히 유리.

WORKED DEMO · 시연

단계별 시연

Same function, two methods.

시연 ① · $y = 2x - 4$ (두 절편으로)

STEP 1. $x = 0$ → $y = -4$. $y$절편 = $(0, -4)$.

STEP 2. $y = 0$ → $0 = 2x - 4$ → $x = 2$. $x$절편 = $(2, 0)$.

STEP 3. 두 점 $(0, -4)$와 $(2, 0)$을 좌표평면에 찍고 직선으로 연결.

▶ 두 점 → 직선 완성

시연 ② · $y = 2x$ (한 점 + 기울기로)

STEP 1. $y$절편 $(0, 0)$을 찍는다.

STEP 2. 기울기 $a = 2$. 오른쪽 $1$, 위로 $2$ 이동 → $(1, 2)$.

STEP 3. 두 점을 연결.

▶ $b = 0$이라 절편 방법 안 됨. 기울기로 두 번째 점 찾음.

QUICK CHECK · 빠른 확인

바로 확인하기

5 quick warm-ups.

QC-01 · $x$절편

$y = 3x - 9$의 $x$절편은?

▼ 클릭하여 답 보기

$0 = 3x - 9$ → $x = \mathbf{3}$.

QC-02 · 두 절편

$y = -2x + 6$의 $x$절편과 $y$절편은?

▼ 클릭하여 답 보기

$x$절편: $0 = -2x + 6$ → $x = 3$. $y$절편: $y = 6$. ▶ $(3, 0), (0, 6)$.

QC-03 · 점 통과

$y = -x + 3$이 $(1, ?)$을 지날 때 $?$의 값은?

▼ 클릭하여 답 보기

$y = -1 + 3 = \mathbf{2}$.

QC-04 · 식 만들기

기울기 $4$, $y$절편 $-1$인 일차함수의 식은?

▼ 클릭하여 답 보기

▶ $\mathbf{y = 4x - 1}$.

QC-05 · 넓이

$y = -x + 4$과 두 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?

▼ 클릭하여 답 보기

$x$절편 $= 4$, $y$절편 $= 4$. 직각삼각형 넓이 = $(4 \times 4)/2 = \mathbf{8}$.

WORKED EXAMPLES · 예제

함께 풀어보기

Two examples — finding equation and computing area.

EXAMPLE 01

한 점과 기울기로 식 구하기

점 $(1, 4)$를 지나고 기울기가 $3$인 일차함수의 식을 구하시오.

1

기울기 $3$이므로 $y = 3x + b$.

2

$(1, 4)$ 대입: $4 = 3(1) + b$ → $b = 1$.

3

따라서 $y = 3x + 1$.

▶ 답: $y = 3x + 1$

EXAMPLE 02

두 축과의 삼각형 넓이

$y = -2x + 6$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

1

$x$절편: $0 = -2x + 6$ → $x = 3$. 점 $(3, 0)$.

2

$y$절편: $y = 6$. 점 $(0, 6)$.

3

$x$축과 $y$축으로 직각삼각형이 만들어짐. 밑변 $= 3$, 높이 $= 6$.

4

넓이 $= \dfrac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$.

▶ 답: $9$

PRACTICE · 연습 문제

스스로 풀어보기

8 problems graded by difficulty.

P-01

★ $x$절편

$y = 2x - 4$의 $x$절편은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$0 = 2x - 4$ → $x = 2$.

P-02

★ 점 통과

$y = -x + 3$이 점 $(1, ?)$을 지날 때 $?$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$y = -1 + 3 = 2$.

P-03

★ 그래프 통과 점

$y = \dfrac{1}{2} x + 1$의 그래프가 지나는 점은?

SOLUTION

$x = 0$ → $y = 1$ ✓. $x = 2$ → $y = 2$ ✓. $x = 4$ → $y = 3$ ✓.

모두 지남.

P-04

★★ 식 만들기

기울기가 $2$이고 $y$절편이 $-3$인 일차함수의 식은? (형식: y=2x-3)

SOLUTION

$y = ax + b = 2x + (-3) = 2x - 3$.

P-05

★★ 점 + 기울기

점 $(1, 4)$를 지나고 기울기가 $3$인 일차함수의 식은? (형식: y=3x+1)

SOLUTION

$y = 3x + b$. $4 = 3 + b$ → $b = 1$. $y = 3x + 1$.

P-06

★★ 삼각형 넓이

$y = -2x + 6$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$x$절편 $3$, $y$절편 $6$. 넓이 = $(3 \times 6)/2 = 9$.

P-07

★★★ $a + b$

일차함수 $y = ax + b$의 그래프가 두 점 $(0, 4), (2, 0)$을 지날 때, $a + b$의 값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

$(0, 4)$는 $y$절편 → $b = 4$. 기울기 $a = (0 - 4)/(2 - 0) = -2$.

$a + b = -2 + 4 = 2$.

P-08

★★★ 넓이 심화

$y = -3x + 12$의 그래프와 두 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$x$절편: $0 = -3x + 12$ → $x = 4$. $y$절편 $= 12$.

넓이 = $(4 \times 12)/2 = 24$.

LESSON 1.4 · WRAP-UP

한 줄로 정리하면

일차함수 그래프는 두 점을 찾아 연결하면 끝입니다. 두 절편으로 그리는 방법이 가장 깔끔하지만, $y = ax$처럼 절편이 한 점뿐일 땐 한 점 + 기울기로 그립니다. 그래프가 두 좌표축과 만나서 만드는 직각삼각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times |x절편| \times |y절편|$로 계산. 이로써 Ⅳ-1의 모든 그래프 작도가 완성됩니다.