HOOK · 시작 질문
$x$가 결정되면 $y$도 결정되는가?
A function is a machine — one input, exactly one output.
A LITTLE PUZZLE
"$x$에 $2$를 곱하고 $1$을 더하면 $y$"라는 규칙이 있다. 함수일까?
$x = 1$이면 $y = 3$. $x = 2$이면 $y = 5$. $x = 0$이면 $y = 1$. 항상 $x$를 정하면 $y$가 하나로 결정 됩니다. ✓ 함수입니다.
반대로 "$y$는 $x$의 약수"라는 규칙은? $x = 6$이면 $y$는 $1, 2, 3, 6$ — 여러 개 입니다. ✗ 함수가 아닙니다.
즉 함수란, 한 입력에 대해 단 하나의 출력 이 나오는 규칙입니다. 마치 자판기 같습니다 — 같은 버튼을 누르면 항상 같은 음료가 나오는.
이 차시는 함수 라는 수학의 핵심 개념을 정의하고, $f(x)$ 표기법으로 함숫값을 계산하는 법을 배웁니다. 다음 차시부터는 가장 단순한 형태의 함수 — 일차함수 를 깊이 다룹니다.
DEFINITION · 정의
함수란 무엇 인가?
A precise mathematical definition.
DEFINITION OF A FUNCTION
함수의 정의
두 변수 $x$와 $y$에 대하여, $x$의 값이 정해지면 그에 따라 $y$의 값이 단 하나로 결정될 때 , $y$를 $x$의 함수(function) 라 하고 기호로 $y = f(x)$와 같이 쓴다.
핵심 조건은 단 하나 — 한 $x$에 대응되는 $y$가 정확히 하나 . $y$가 결정되지 않거나 여러 개라면 함수가 아닙니다.
예를 들어 $y = 2x + 1$이라는 식은 함수입니다. $x$에 어떤 값을 넣어도 $y$는 단 하나로 결정되니까요:
$x$ $y = 2x + 1$ $y$의 값
$0$ $2 \cdot 0 + 1$ $1$ $1$ $2 \cdot 1 + 1$ $3$ $2$ $2 \cdot 2 + 1$ $5$ $-1$ $2 \cdot (-1) + 1$ $-1$ $3$ $2 \cdot 3 + 1$ $7$
EXAMPLES & COUNTEREXAMPLES · 예와 반례
함수인가 아닌가 ?
Test each relation against the definition.
✓ 함수
$y = 2x + 1$
$x$에 어떤 값을 넣어도 $y$가 단 하나 로 결정.
$x = 3 \Rightarrow y = 7$ (유일)
✓ 함수
$y = x^2$
$x$의 제곱은 항상 단 하나. $y$가 같은 값이 두 $x$에 대응해도 함수.
$x = 2 \Rightarrow y = 4$ (유일)
✓ 함수
$y$는 $x$를 $2$로 나눈 나머지
$x$를 $2$로 나누면 나머지는 항상 단 하나로 결정 ($0$ 또는 $1$).
$x = 5 \Rightarrow y = 1$ (유일)
✗ 함수 아님
$y$는 $x$의 약수
$x = 6$이면 $y$가 $1, 2, 3, 6$ 네 개 가 됨.
$x = 6 \Rightarrow y = ?$ (여러 개)
✗ 함수 아님
$|y| = x$
$x = 1$이면 $y = 1$ 또는 $y = -1$ — 두 값 .
$x = 1 \Rightarrow y = ±1$ (두 개)
✗ 함수 아님
$y$는 $x$보다 큰 수
$x = 3$이면 $y$는 $4, 5, 6, \ldots$ — 무수히 많음 .
$x = 3 \Rightarrow y = $ 무한히 많음
판별 기준: 어떤 $x$를 골라도 그에 대응하는 $y$가 정확히 하나면 함수. 단 하나라도 $y$가 여러 개거나 정해지지 않으면 함수가 아닙니다.
NOTATION · 표기와 함숫값
함수의 표기 와 함숫값
Euler's notation $y = f(x)$ — function as a machine.
$y = f(x)$의 의미
함수 관계를 식으로 나타낼 때, 일반적으로 $y = f(x)$의 형태로 씁니다. $f$는 영어 "function"의 첫 글자로, "$f$라는 함수에 $x$를 넣었을 때의 출력 = $y$" 를 뜻합니다.
함숫값(value of $f$ at $a$): $x = a$일 때의 $y$ 값. 기호로 $f(a)$.
시연 ① · 함숫값 계산
$f(x) = 2x + 1$일 때, $f(3)$은?
STEP 1 . $f(3)$은 $x = 3$을 넣으라는 뜻.
STEP 2 . $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$.
▶ $f(3) = 7$
시연 ② · 음수 대입
$f(x) = x^2 - 1$일 때, $f(-2)$는?
STEP 1 . $x = -2$ 대입.
STEP 2 . $f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. (음수의 제곱은 양수)
▶ $f(-2) = 3$
시연 ③ · 역방향 : $f(a) = ?$로부터 $a$ 찾기
$f(x) = 2x + 1$이고 $f(a) = 9$일 때 $a$는?
STEP 1 . $f(a) = 2a + 1 = 9$.
STEP 2 . $2a = 8$ → $a = 4$.
▶ $a = 4$
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples — finding a coefficient and combining function values.
EXAMPLE 01
미지의 계수 구하기
$f(x) = ax + 3$이고 $f(2) = 7$일 때, $a$의 값을 구하시오.
1
$f(2)$ 계산: $f(2) = a \times 2 + 3 = 2a + 3$.
2
$f(2) = 7$이므로 $2a + 3 = 7$.
▶ 답: $a = 2$
EXAMPLE 02
함숫값의 합
$f(x) = \dfrac{12}{x}$일 때, $f(2) + f(3)$의 값을 구하시오.
1
$f(2) = \dfrac{12}{2} = 6$.
2
$f(3) = \dfrac{12}{3} = 4$.
3
$f(2) + f(3) = 6 + 4 = 10$.
▶ 답: $10$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$f(x) = 2x + 1$일 때 $f(3)$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$f(3) = 2(3) + 1 = 7$.
$f(x) = -3x + 5$일 때 $f(2)$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$f(2) = -3(2) + 5 = -6 + 5 = -1$.
$f(x) = x^2 - 1$일 때 $f(-2)$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
$f(x) = 2x + 1$일 때 $f(a) = 7$이라면 $a$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$2a + 1 = 7$ → $a = 3$.
$f(x) = \dfrac{12}{x}$일 때 $f(2) + f(3)$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$f(2) = 6$, $f(3) = 4$. 합 = $10$.
$f(x) = ax + 3$이고 $f(2) = 7$일 때 $a$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$2a + 3 = 7$ → $2a = 4$ → $a = 2$.
다음 중 $y$가 $x$의 함수가 아닌 것은?
① $y = 2x + 1$
② $y = x^2$
③ $y$는 $x$의 약수
④ $y = \dfrac{1}{x}$ ($x \ne 0$)
⑤ $y = 3$
확인 풀이
SOLUTION
③의 경우 $x = 6$이면 $y$가 $1, 2, 3, 6$ — 여러 개. 따라서 함수가 아님.
나머지는 모두 $x$ 하나에 $y$ 하나가 결정됨 (⑤도 항상 $y = 3$으로 결정).
$f(x) = 2x - 1$일 때 $f(3) - f(1)$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$f(3) = 5$, $f(1) = 1$. $f(3) - f(1) = 4$.