"In every fraction lives a decimal, sometimes finite, sometimes endless."
분수가 소수가 될 때 두 길이 갈린다 — 끝나는 길과 영원히 반복되는 길.
"$\frac{1}{8} = 0.125$는 깔끔하게 끝나고, $\frac{1}{6} = 0.1\dot{6}$은 반복된다. 왜 이런 차이가 생기는가?"
분수를 소수로 바꾸는 것은 곧 분자를 분모로 나눗셈하는 일입니다. 어떤 분수는 나눗셈이 깨끗하게 끝나서 유한소수가 되고, 어떤 분수는 같은 숫자가 끝없이 반복되는 순환소수가 됩니다. 그 갈림길의 비밀은 — 분모의 소인수에 $2$와 $5$ 외에 다른 수가 있는가 — 라는 단 하나의 질문에 있습니다.
이 단원에서는 분수와 소수 사이를 자유롭게 오가는 법과, 어떤 분수가 어떤 형태의 소수가 될지 한눈에 판정하는 법을 배웁니다.
우리가 사용하는 소수는 모두 $10$진법입니다. $10 = 2 \times 5$. 그래서 분모가 $2$와 $5$의 거듭제곱으로만 이루어진 분수는 분모를 $10^n$으로 만들 수 있어 유한소수가 됩니다. 분모에 $3, 7, 11, 13$ 같은 다른 소인수가 끼어 있으면 어떤 $10$의 거듭제곱으로도 만들 수 없어 나눗셈이 끝나지 않습니다. 단순히 $10 = 2 \times 5$라는 한 줄이 모든 분수의 운명을 결정합니다.
분수를 소수로 → 두 갈래(유한·순환) → 분모의 소인수로 판정.
분수를 소수로 표현하는 두 가지 방법 — 나눗셈과 분모 변환.
분모가 $2$와 $5$로만 이루어진 분수의 우아한 끝맺음.
$0.\dot{3}, 0.\dot{1}\dot{2}$ — 끝없이 반복되는 패턴의 정체.
분모만 보고 유한·순환을 한눈에 판정하는 강력한 도구.
12문제로 분수와 소수의 관계·판정을 점검.
분수의 운명을 점치는 판정사 — 6단계 프로젝트.