"God made the integers; all else is the work of man." — Leopold Kronecker
$\frac{1}{3} = 0.\dot{3}$. 분수가 소수가 되는 신비한 다리. 그리고 그 너머의 무리수.
"$\frac{1}{2}$는 깔끔하게 $0.5$, 그런데 $\frac{1}{3}$은 왜 끝없이 $0.333\ldots$일까?" — 분수와 소수 사이를 자유롭게 오가는 한 가지 비밀.
1학년에서 우리는 자연수와 정수, 유리수를 배웠고 분수와 소수를 사용했습니다. 그러나 어떤 분수는 소수로 바꾸면 깔끔하게 끝나는 반면, 어떤 분수는 끝없이 같은 숫자가 반복됩니다. 왜 그럴까요? 그 비밀은 분모의 소인수에 있습니다.
$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$처럼 분모가 $2$와 $5$만으로 이루어진 분수는 깔끔한 유한소수가 됩니다. 분모에 $3, 7, 11$ 같은 다른 소인수가 들어가면 끝없이 반복되는 순환소수가 됩니다. 그리고 그 모든 분수와 유한소수·순환소수가 정확히 같은 집합을 이룬다는 사실 — 이것이 바로 유리수의 정체입니다.
분수를 소수로 바꾸기. 어떤 분수가 유한소수가 되고, 어떤 분수가 순환소수가 되는가?
기약분수의 분모를 소인수분해해서 유한소수 / 순환소수를 한눈에 판정하는 법.
$0.\dot{3}$, $0.1\dot{2}$, $0.\dot{1}\dot{3}$ 같은 순환소수를 다시 분수로 되돌리는 우아한 알고리즘.
오늘날 우리가 자연스럽게 사용하는 소수점은 사실 그리 오래되지 않았습니다. $16$세기 플랑드르의 수학자 시몬 스테빈이 $1585$년 De Thiende(십분의 일)이라는 책에서 처음으로 10진법 소수를 체계적으로 정리했습니다. 그가 사용한 표기는 우리의 것과 달랐지만, 분수를 위치값 기반의 소수로 환산하는 발상이 거기서 시작되었습니다.
"분수는 어렵고, 소수는 쉽다." — 시몬 스테빈, De Thiende 서문
그 이후로 분수와 소수는 같은 양을 다르게 표현하는 두 가지 방식임이 알려졌습니다. 그리고 어떤 분수는 깔끔한 소수가 되고 어떤 분수는 순환소수가 된다는 사실, 또 모든 순환소수가 다시 분수로 환원된다는 사실 — 이 모든 것은 유리수 $\mathbb{Q}$라는 단 하나의 집합이 보여 주는 두 얼굴입니다.
분수 → 소수로 바꾸는 길과, 그 반대인 소수 → 분수로 되돌리는 길.
"왜 $\frac{1}{2}$는 깔끔하고 $\frac{1}{3}$은 끝이 없을까?" 분모의 소인수만 보고 유한·순환을 판정한다.
$0.\dot{3} \times 10 - 0.\dot{3} = 3$. $10$배의 마법을 이용해 순환소수를 분수로 되돌린다.