LESSON 1.4 · UNIT Ⅰ-1
1.4

소인수에 의한 판정

Identifying by Prime Factors

분모만 보고 유한·순환을 한눈에 — 3단계 알고리즘.

HOOK

나눗셈 없이 판정할 수 있을까?

$\dfrac{17}{200}$이 유한소수인지 순환소수인지 알기 위해 $17 \div 200$을 직접 해 보는 것은 번거롭습니다. 정말 빠른 방법이 없을까요?

있습니다 — 분모를 소인수분해해서 $2$와 $5$만 있는지 확인하면 끝. $200 = 2^3 \times 5^2$ → $2$와 $5$만 있음 → 유한소수. 이렇게 분모를 들여다보는 것만으로 모든 분수의 운명을 판정할 수 있습니다.

"소인수분해는 분수의 X-ray. 그 안에 숨겨진 운명을 한눈에 보여 준다."

CORE CONCEPT

핵심 정리

THE THEOREM
기약분수 $\dfrac{a}{b}$를 소수로 나타내면:
분모 $b$의 소인수가 $2$와 $5$뿐 ⇔ 유한소수
분모 $b$에 $2, 5$ 외 다른 소인수가 있음 ⇔ 순환소수
필수: 판정 전에 반드시 기약분수로 약분.
왜 약분이 먼저인가?

$\dfrac{6}{15}$의 분모 $15 = 3 \times 5$. $3$이 있어 보이지만 — 약분하면 $\dfrac{2}{5}$가 되어 분모가 $5$뿐 → 유한소수.

약분으로 분자·분모의 공통 소인수가 사라질 수 있으므로 반드시 기약분수 먼저!

ALGORITHM

판정 알고리즘

1
기약분수로 약분
분자와 분모의 최대공약수로 나누어 기약분수 만들기. 분자 = $a$, 분모 = $b$.
↓
2
분모 $b$를 소인수분해
$b$를 소수의 곱으로 분해. 예: $40 = 2^3 \times 5$, $30 = 2 \times 3 \times 5$, $7 = 7$.
↓
3
소인수에 $2$와 $5$ 이외의 수가 있는가?
분모의 소인수 목록을 살펴 본다.
↓
✓
없다 → 유한소수
분모가 $2^a \times 5^b$ 꼴이면 분모를 $10^n$으로 만들 수 있어 깔끔하게 끝남.
✗
있다 → 순환소수
$3, 7, 11, 13, \ldots$ 같은 다른 소인수가 있으면 $10^n$ 꼴이 안 되므로 끝없이 반복.
CASES

다양한 분수 판정

각 분수에 알고리즘을 적용해 봅시다 (이미 기약분수로 정리).

$\dfrac{17}{200}$
200 = 2³ × 5²
소인수: 2, 5 ✓
✓ 유한소수
$\dfrac{3}{125}$
125 = 5³
소인수: 5 ✓
✓ 유한소수
$\dfrac{9}{40}$
40 = 2³ × 5
소인수: 2, 5 ✓
✓ 유한소수
$\dfrac{11}{8}$
8 = 2³
소인수: 2 ✓
✓ 유한소수
$\dfrac{7}{30}$
30 = 2 × 3 × 5
3 포함 (X)
✗ 순환소수
$\dfrac{5}{12}$
12 = 2² × 3
3 포함 (X)
✗ 순환소수
$\dfrac{4}{21}$
21 = 3 × 7
3, 7 (X)
✗ 순환소수
$\dfrac{1}{11}$
11 = 11
11 (X)
✗ 순환소수

응용 — 유한소수로 만들기

"$\dfrac{a}{12}$가 유한소수가 되도록"

분모 $12 = 2^2 \times 3$. $3$이 사라져야 유한소수가 됨 → 분자 $a$가 $3$의 배수여야 약분으로 $3$이 사라짐.

$a$의 최소 자연수 값 = 3. 검산: $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0.25$ ✓ (유한)

"$\dfrac{a}{60}$이 유한소수가 되도록"

분모 $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. 사라져야 할 소인수는 $3$. 분자 $a$가 $3$의 배수여야.

$a$의 최소 자연수 값 = 3. 검산: $\dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{20} = 0.05$ ✓

INTERACTIVE

판정 알고리즘 실행

분수를 입력하면 3단계 알고리즘이 자동으로 실행됩니다.

PRIME-FACTOR JUDGE
✓ 유한소수
1. 기약: 17/200
2. 분모 분해: 200 = 2³ × 5²
3. 다른 소인수: 없음 → 유한소수
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
선택형
$\dfrac{7}{40}$의 분모 $40$을 소인수분해하면 $2^3 \times 5$. 이 분수는?
Q-02
선택형
$\dfrac{6}{15}$를 약분 후 판정하면?
Q-03
선택형
다음 중 순환소수로 나타내는 것은? (모두 기약분수)
Q-04
수치 입력
$\dfrac{a}{30}$이 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$는?
Q-05
수치 입력
$\dfrac{a}{45}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$는?
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 고르시오. $\dfrac{3}{8},\ \dfrac{4}{15},\ \dfrac{7}{25},\ \dfrac{1}{30}$ (모두 기약분수)
$\dfrac{3}{8}$: $8 = 2^3$. 소인수 $2$뿐 → 유한.
$\dfrac{4}{15}$: $15 = 3 \times 5$. $3$ 포함 → 순환.
$\dfrac{7}{25}$: $25 = 5^2$. 소인수 $5$뿐 → 유한.
$\dfrac{1}{30}$: $30 = 2 \times 3 \times 5$. $3$ 포함 → 순환.
▶ 유한소수: $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{7}{25}$
EXAMPLE 02
$\dfrac{a}{2^2 \times 3^2 \times 5}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$를 구하시오.
분모를 살펴보면 $4 \times 9 \times 5 = 180$. 분모의 소인수 중 $2$와 $5$가 아닌 것은 $3$ (지수 $2$).
유한소수가 되려면 약분으로 $3^2 = 9$가 사라져야 → 분자 $a$가 $9$의 배수.
최소 자연수: $a = 9$. 검산: $\dfrac{9}{180} = \dfrac{1}{20} = 0.05$ (유한) ✓
▶ $a = \mathbf{9}$
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
O/X
$\dfrac{1}{16}$은 유한소수이다.
P-02 ★
O/X
$\dfrac{1}{15}$은 유한소수이다.
P-03 ★
선택형
다음 중 유한소수가 아닌 분수는? (모두 기약분수)
P-04 ★★
O/X
$\dfrac{14}{35}$은 유한소수이다.
P-05 ★★
수치 입력
$\dfrac{a}{12}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$는?
P-06 ★★
수치 입력
$\dfrac{a}{42}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$는? ($42 = 2 \times 3 \times 7$)
P-07 ★★★
수치 입력
$\dfrac{a}{12}$가 순환소수가 되도록 하는 자연수 $a$의 개수는? ($1 \leq a \leq 10$)
개
P-08 ★★★
수치 입력
$\dfrac{a}{2^2 \times 3^2 \times 5}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값은?
WRAP-UP

1.4 소인수에 의한 판정 — 핵심 정리

3단계 알고리즘: 약분 → 분모 소인수분해 → 다른 소인수 있는가? 응용 문제는 약분 후 분모가 $2$와 $5$만 남도록 분자를 조정.

POINT 1

기약분수 분모의 소인수가 $2, 5$뿐 ⇔ 유한소수

POINT 2

판정 전 반드시 약분 (예: $\frac{6}{15} \to \frac{2}{5}$ → 유한)

POINT 3

유한 만들기: 분모의 "$2, 5$ 아닌 소인수"의 모든 거듭제곱이 분자에 포함되도록

POINT 4

가장 작은 $a$: 분모에서 $2,5$가 아닌 부분 전체

↑ Ⅰ-1. 유한·순환소수 차례로