LESSON 1.2 · UNIT Ⅰ-1
1.2

유한 소수

Terminating Decimals — when fractions end cleanly

분모에 $2$와 $5$만 있으면 — 깔끔하게 끝나는 소수.

HOOK

왜 어떤 분수는 깨끗하게 끝날까?

$\dfrac{1}{2} = 0.5$, $\dfrac{3}{4} = 0.75$, $\dfrac{7}{8} = 0.875$ — 모두 깨끗하게 끝납니다. 반면 $\dfrac{1}{3} = 0.333\ldots$, $\dfrac{1}{7} = 0.142857\ldots$는 끝나지 않습니다.

두 무리 사이에 어떤 공통점이 있을까요? 끝나는 분수들은 모두 분모가 $2, 4, 8, 5, 10, 20, 40, 100, \ldots$입니다. 이들은 모두 $2$와 $5$만으로 만들어진 수입니다. 이 공통점이 바로 유한소수의 정체입니다.

"$10 = 2 \times 5$. 단 한 줄의 약속이 분수의 운명을 가른다."

CORE CONCEPT

유한소수의 정의와 조건

DEFINITION 01

유한소수(terminating decimal): 소수점 이하 자리가 유한 개로 끝나는 소수. 예: $0.5,\ 0.25,\ 0.125,\ 0.375$.

CORE THEOREM
기약분수의 분모를 소인수분해 했을 때 분모의 소인수가 $2$ 또는 $5$ 뿐이면 — 그 분수는 유한소수.
기약분수: 분자와 분모가 서로소(공약수 $1$뿐)인 분수.
왜 $2$와 $5$인가?

우리 소수는 $10$진법. $10 = 2 \times 5$. 그래서 분모가 $2$와 $5$만의 곱이면 분모를 $10^n$ 꼴로 만들 수 있어 — 소수점 이동만으로 유한 자리에서 표현 가능.

예: $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3}$. 분모에 $5^3$을 곱해 주면 $\dfrac{3 \times 125}{8 \times 125} = \dfrac{375}{1000} = 0.375$.

예: $\dfrac{7}{20} = \dfrac{7}{2^2 \times 5}$. 분모에 $5$만 더 곱하면 $\dfrac{35}{100} = 0.35$.

JUDGMENT

분모를 보고 한눈에 판정

아래 분수들을 보고 어떤 것이 유한소수인지 한눈에 판정해 봅시다 (모두 기약분수).

$\dfrac{1}{2}$
2 = 2
✓ 유한
$\dfrac{3}{4}$
4 = 2²
✓ 유한
$\dfrac{7}{20}$
20 = 2² × 5
✓ 유한
$\dfrac{1}{125}$
125 = 5³
✓ 유한
$\dfrac{1}{3}$
3 = 3 (X)
✗ 무한
$\dfrac{1}{6}$
6 = 2 × 3 (X)
✗ 무한
$\dfrac{1}{15}$
15 = 3 × 5 (X)
✗ 무한
$\dfrac{2}{7}$
7 = 7 (X)
✗ 무한
⚠ 반드시 기약분수로 먼저

$\dfrac{6}{15}$를 보고 "$15 = 3 \times 5$니 무한소수"라고 판단하면 X — 약분하면 $\dfrac{2}{5}$가 되어 유한소수.

그러므로 판정 전에 반드시 기약분수로 약분 먼저!

PROCESS

유한소수로 변환하는 절차

기약분수가 유한소수임을 확인한 다음, 분모를 $10^n$으로 만들어 변환합니다.

기약분수로 약분
분자와 분모의 최대공약수로 나누어 기약분수로 만든다.
예: $\dfrac{6}{40} = \dfrac{3}{20}$ (분자와 분모를 $2$로)
분모를 소인수분해
분모가 $2$와 $5$로만 이루어졌는지 확인.
$20 = 2^2 \times 5$ → 유한소수 가능
분모를 $10^n$으로
$2$의 지수 $a$와 $5$의 지수 $b$ 중 더 큰 수만큼이 $n$. 부족한 쪽을 곱해 분자·분모에 같은 수 곱하기.
$\dfrac{3}{2^2 \times 5} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{15}{100}$
소수로 표현
분모가 $10^n$이면 분자의 소수점 위치만 옮기면 끝.
$\dfrac{15}{100} = 0.15$
INTERACTIVE

유한소수 판정기

분수의 분자·분모를 입력하면, 기약분수의 분모를 소인수분해해서 유한소수 여부를 판정하고 소수로 변환합니다.

TERMINATING DECIMAL CHECKER
RESULT
0.075
$\dfrac{3}{40}$ (기약) · $40 = 2^3 \times 5$ → 유한소수
$\dfrac{3 \times 25}{40 \times 25} = \dfrac{75}{1000} = 0.075$
QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01
선택형
유한소수가 되는 분수의 분모(기약분수)의 소인수로 가능한 것은?
Q-02
수치 입력
$\dfrac{7}{25}$을 $\dfrac{a}{100}$ 꼴로 만들 때 $a$의 값은?
Q-03
수치 입력
$\dfrac{9}{40}$를 소수로 바꾸면? (수만 입력)
Q-04
O/X
$\dfrac{6}{15}$는 기약분수가 아니므로 약분 후 판정해야 한다. 약분하면 유한소수가 된다.
Q-05
선택형
다음 중 유한소수가 아닌 분수는? (모두 기약분수로 가정)
WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01
$\dfrac{9}{40}$이 유한소수임을 확인하고 소수로 나타내시오.
$\dfrac{9}{40}$는 기약분수 (분자 $9$와 분모 $40$의 공약수가 $1$뿐).
분모 $40 = 2^3 \times 5$. 소인수가 $2$와 $5$뿐이므로 유한소수.
분모를 $10^n$으로 만들려면 $5$가 2개 더 필요. 분자·분모에 $25$ 곱하기. $\dfrac{9 \times 25}{40 \times 25} = \dfrac{225}{1000} = 0.225$.
▶ $0.225$
EXAMPLE 02
$0.625$를 기약분수로 나타내시오.
$0.625 = \dfrac{625}{1000}$.
분자·분모의 최대공약수로 약분. $\gcd(625, 1000) = 125$.
$\dfrac{625 \div 125}{1000 \div 125} = \dfrac{5}{8}$.
▶ $\dfrac{5}{8}$
PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★
수치 입력
$\dfrac{1}{5}$을 소수로 바꾸면?
P-02 ★
수치 입력
$\dfrac{3}{8}$을 소수로 바꾸면?
P-03 ★
선택형
$0.6$을 기약분수로 나타내면?
P-04 ★★
선택형
다음 중 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는? (모두 기약분수)
P-05 ★★
수치 입력
$\dfrac{1}{40}$을 소수로 바꾸면? (수만 입력)
P-06 ★★
수치 입력
$0.075$를 기약분수 $\dfrac{a}{b}$로 나타낼 때 분자 $a$의 값은?
P-07 ★★★
수치 입력
$0.625 = \dfrac{a}{8}$일 때 $a$의 값은?
P-08 ★★★
수치 입력
$\dfrac{a}{12}$가 유한소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$는?
WRAP-UP

1.2 유한소수 — 핵심 정리

기약분수의 분모가 $2$와 $5$만으로 이루어지면 유한소수. 그렇지 않으면 무한소수. 약분 먼저, 그다음 분모 소인수 확인.

POINT 1

유한소수 ⇔ 기약분수의 분모가 $2^a \times 5^b$ 꼴

POINT 2

판정 전 반드시 기약분수로 약분 (예: $\frac{6}{15} \to \frac{2}{5}$)

POINT 3

분모 $\to 10^n$: 부족한 쪽($2$ 또는 $5$)을 곱한다

POINT 4

모든 유한소수는 분수 ($\frac{a}{10^n}$)로 표현 가능 → 약분으로 기약분수

↑ Ⅰ-1. 유한·순환소수 차례로