Fractions ↔ Decimals — two faces of the same number
분수를 소수로 표현하는 두 가지 길 — 나눗셈과 분모 변환.
$\dfrac{1}{2}$와 $0.5$는 같은 양입니다. $\dfrac{3}{4}$와 $0.75$도 같은 양입니다. 그런데 $\dfrac{1}{3}$은 $0.333\ldots$ 끝없이 이어집니다. 같은 양인데 표현은 둘 다 정당합니다. 왜 같은 분수가 어떤 때는 깔끔한 소수가 되고, 어떤 때는 끝없이 이어질까요?
그 답에 다가가기 전에, 먼저 분수를 소수로 바꾸는 두 가지 방법을 분명히 익혀 두어야 합니다.
"수는 표현 방식이 여러 가지일 뿐, 그 본질은 하나다."
분수: $\dfrac{a}{b}$ ($b \ne 0$). $a$를 분자, $b$를 분모. 전체를 $b$등분 한 것 중 $a$개를 나타냄.
소수: $0.5,\ 0.75,\ 0.333\ldots$처럼 정수 부분과 소수점 이하 부분으로 나타낸 수.
유한소수: 소수점 이하 자리가 유한 개로 끝나는 소수. 예: $0.5,\ 0.75,\ 0.125$.
무한소수: 소수점 이하 자리가 끝나지 않는 소수. 예: $0.333\ldots,\ 0.142857\ldots,\ 3.14159\ldots$
분수와 소수는 같은 양을 다르게 표현한 두 얼굴입니다. 모든 분수는 소수로 바꿀 수 있고, 어떤 소수는 다시 분수로 바꿀 수 있습니다. 이 차시에서는 그 사이를 오가는 첫 번째 다리 — 분수 → 소수 변환을 익힙니다.
분수 $\dfrac{a}{b}$는 곧 "$a$를 $b$로 나눈다"는 뜻. 직접 나눗셈을 수행해 소수를 얻는다.
분자와 분모에 같은 수를 곱해 분모를 $10, 100, 1000, \ldots$ 으로 만든다. 그러면 소수점 이동만으로 끝.
METHOD 01의 나눗셈은 항상 가능합니다. 그러나 그 결과가 깨끗하게 끝날 수도, 끝나지 않을 수도 있습니다 — 후자가 무한소수.
METHOD 02의 분모를 $10^n$으로 만드는 방법은 어떤 분수에서는 불가능합니다. 예: $\dfrac{1}{3}$. 분모 $3$을 어떤 수로 곱해도 $10, 100, 1000, \ldots$이 될 수 없습니다 — 왜냐하면 $10 = 2 \times 5$이고, $3$은 $2$나 $5$가 아니기 때문입니다.
분모가 $2$와 $5$로만 이루어진 분수 → METHOD 02 가능, 유한소수가 됨.
분모에 $2$와 $5$ 외 다른 소인수가 있는 분수 → METHOD 02 불가능, METHOD 01로 나눠 보면 무한소수가 됨.
분수의 분자·분모를 입력하면 소수로 자동 변환되고, 유한소수인지 무한소수인지도 알려 줍니다.
분수를 소수로 바꾸는 두 가지 길 — 나눗셈(항상 가능)과 분모를 $10^n$으로(항상 되는 건 아님). 어떤 분수가 어떤 길로 가능한지가 다음 차시의 주제.
분수 $\dfrac{a}{b} = a \div b$. 나눗셈은 항상 가능.
분모를 $10, 100, 1000$으로 만들면 소수점 이동만으로 변환.
유한소수 = 소수점 이하 끝남. 무한소수 = 끝나지 않음.
핵심: $10 = 2 \times 5$. 분모의 소인수가 모든 것을 결정한다.