2300년 전 Euclid가 적어 둔 원의 다섯 정리. 17세기 Pascal과 Fermat이 시작한 확률론의 후예 — 통계학의 네 측도. 한 단원에서 두 갈래의 수학을 한 번에 손에 넣었다. 그리고 — 중학교 수학의 마지막 페이지를 닫는다.
중심에서 직선까지 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 비교.
중심에서 현까지 거리 $d$, 반지름 $r$ 일 때.
외부 점 $P$ 에서 그은 접선. $\overline{OT} \perp \overline{PT}$.
역: 현의 수직이등분선은 중심을 지난다. 외접원 작도의 핵심.
한 꼭짓점에서 두 접선의 길이는 같다는 사실의 따름정리.
같은 호에 대한 원주각은 모두 같음. 반원의 원주각 $=90°$ (탈레스).
원주각 정리에서 따라옴. 외각 = 마주보는 내각. 내접 판정 기준.
모든 자료를 더해서 개수로 나눈 값. 이상치에 민감.
중앙값은 이상치에 강함. 최빈값은 범주형 자료에 유용.
편차 제곱의 평균. 단위는 자료의 제곱.
분산의 제곱근. 자료와 같은 단위. "흩어짐의 평균 거리".
평균이 자료의 균형점. 따라서 분산 계산에 제곱이 필요.
강도: 점이 직선에 가까울수록 강함. 상관계수 $r \in [-1, 1]$ (고등 학습 예고).
잠복변수·역인과·우연·표본 편향. 인과 검증은 RCT (무작위 대조 실험).
13권 중 한 권 전체를 원에 바친 알렉산드리아의 학자. 우리가 배운 원의 다섯 정리가 2300년 전 이 책에서 정립.
$\tfrac{223}{71} < \pi < \tfrac{22}{7}$. 정 96각형으로 원을 근사하는 소진법 — 미적분의 선조.
Ptolemy 정리: 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 곱 = 대변 두 쌍 곱의 합. 천문 계산의 표준.
도박 문제 서신 교환에서 확률론의 토대 정립. 통계학의 진정한 출발점.
『추측술』에서 표본이 커질수록 표본평균이 모평균에 수렴함을 증명. "데이터가 많아지면 진실에 가까워진다."
천체 관측 오차의 분포가 종 모양 곡선을 따른다는 발견. 분산·표준편차의 현대적 정착.
Galton의 평균으로의 회귀 발견과 산점도 도입. Pearson의 상관계수 $r \in [-1,1]$ 정립.
분산 분석·실험 설계·가설 검정 정립. 무작위 대조 실험 (RCT) 의 황금 기준 확립.
컴퓨터의 등장 → 통계학 폭발적 확장. GPT 같은 거대 언어모델도 통계의 직계 후손. 우리가 사는 데이터 시대의 모국어.
원형 검출기의 회전 + 통계적 잡음 처리. 원의 기하 + 통계 추론의 결합.
세 위성의 거리로 위치 결정 (세 원의 교점). 측정 오차는 통계로 보정.
아치·돔·터널 단면은 원. 안전 계수는 표준편차로 보장.
OPS·xG·WAR 등 현대 스포츠 통계는 산점도와 회귀의 후예.
과거 데이터의 평균·분산으로 내일의 기온 분포를 예측. 정규분포의 직접 응용.
RCT로 신약 효과 검증. 통계 없이는 어떤 의학적 결론도 불가능.
Six Sigma — 표준편차로 제품 불량률을 통계적으로 통제.
모든 머신러닝의 손실 함수는 MSE — 분산의 직계 후손. 통계는 AI의 모국어.
제곱근과 실수 → 다항식의 곱셈과 인수분해 → 이차방정식 → 이차함수 → 삼각비 → 원과 통계. 1년 동안 6개 단원의 모든 정리를 손에 넣었습니다.
실수와 무리수, 인수분해, 방정식의 해, 함수의 그래프, 삼각비, 원의 정리, 통계의 측도 — 이 도구들이 모두 손에 있다.
중학교에서 배운 모든 개념이 더 깊고 넓게 확장됩니다. 삼각비 → 삼각함수, 통계 → 확률·추정, 이차함수 → 다항·지수·로그 함수, 원 → 원의 방정식과 해석기하.
새로운 도구도 등장합니다 — 미분과 적분, 행렬, 복소수, 벡터. 그러나 모두 — 우리가 중학교에서 다진 기초 위에 세워집니다.
"수학은 어떤 다른 학문도 가질 수 없는 정확성과 분명한 진리를 가진다. 한 번 증명된 정리는 영원하다."
— Hermann Hankel