평균 하나로는 자료의 모습이 보이지 않는다. 자료를 크기순으로 세우고 네 등분하면, 단 다섯 개의 수가 분포 전체를 그려 낸다. 그 다섯 수를 그림으로 옮긴 것이 상자그림이다. 두 집단을 나란히 놓는 순간, 어느 쪽이 높고 어느 쪽이 고른지가 한눈에 드러난다.
자료를 크기순으로 세운 뒤 네 덩어리로 똑같이 나눈다. 그 경계에 놓이는 세 수 $Q_1, Q_2, Q_3$ 에 양 끝의 최솟값·최댓값을 더한 다섯 개의 수가 자료 전체의 모양을 요약한다.
자료가 100개든 1000개든 요약은 언제나 다섯 수다. 이것이 상자그림이 큰 자료에 강한 이유.
$Q_2$ (제2사분위수) 는 Ⅵ-2.1에서 배운 중앙값 바로 그것. 자료를 아래 절반과 위 절반으로 가른다.
$Q_1$ (제1사분위수) 는 아래쪽 절반의 중앙값, $Q_3$ (제3사분위수) 는 위쪽 절반의 중앙값이다.
즉 $Q_1$ 아래에 자료의 약 25%, $Q_2$ 아래에 약 50%, $Q_3$ 아래에 약 75%가 놓인다.
가운데 절반의 자료가 차지하는 폭. 상자그림에서는 상자의 길이 그 자체다.
IQR이 작으면 자료가 가운데에 촘촘히 모여 있고, 크면 넓게 퍼져 있다. Ⅵ-2.2의 표준편차와 같은 일을 하지만, 양 끝의 극단값을 아예 보지 않는다는 점이 다르다.
$Q_1$ 에서 $Q_3$ 까지를 상자로 그리고, 그 안에 중앙값 선을 긋는다. 상자 양쪽으로 최솟값·최댓값까지 수염을 뻗는다.
자료 하나하나는 사라지지만 — 중심 · 퍼짐 · 치우침 세 가지가 한 그림에 남는다.
Ⅵ-2.1 · 2.2와의 연결 평균과 표준편차는 모든 값을 계산에 넣으므로 한 개의 극단값에도 크게 흔들린다. 반면 중앙값과 사분위수는 순서만 보므로 극단값이 하나 들어와도 거의 움직이지 않는다. 그래서 자료에 튀는 값이 섞여 있을 때는 중앙값 + IQR 쪽이 더 정직한 요약이 된다.
작은 값부터 큰 값까지 한 줄로 세운다. 사분위수는 순서에서 나오므로 이 단계를 건너뛰면 전부 틀린다.
자료의 개수 $n$ 이 홀수면 한가운데 값, 짝수면 한가운데 두 값의 평균.
중앙값을 기준으로 두 덩어리로 나눈다. $n$ 이 홀수이면 한가운데 값은 어느 쪽에도 넣지 않는다. $n$ 이 짝수면 그냥 반씩 나뉜다.
아래 절반의 중앙값이 $Q_1$, 위 절반의 중앙값이 $Q_3$. 마지막으로 IQR $= Q_3 - Q_1$ 을 계산한다.
약속 사분위수를 정하는 방법은 여러 가지가 있어 통계 프로그램마다 값이 조금씩 다를 수 있다. 이 교과서는 위의 방법(홀수일 때 중앙값을 제외하고 반으로 가르는 방법)을 쓴다. 아래 실험실도 같은 규칙으로 계산하므로 손 계산과 화면의 값이 항상 일치한다.
STEP 1 · 이미 크기순이다. $n = 11$ (홀수).
STEP 2 · 6번째 값이 한가운데. 따라서 $Q_2 = 30$.
STEP 3 · 6번째 값(30)을 빼고 가른다.
| 구분 | 값 | 개수 | 그 절반의 중앙값 |
|---|---|---|---|
| 아래 절반 | 10, 15, 20, 20, 25 | 5 | 20 → $Q_1$ |
| 가운데 | 30 | 1 | 30 → $Q_2$ |
| 위 절반 | 35, 40, 45, 50, 90 | 5 | 45 → $Q_3$ |
| IQR | $45 - 20$ | — | 25 |
STEP 4 · 다섯 수 요약이 완성되었다. 최솟값 $10$ · $Q_1 = 20$ · $Q_2 = 30$ · $Q_3 = 45$ · 최댓값 $90$.
평균과 비교하면 · 평균은 $\dfrac{380}{11} \approx 34.5$ 분으로 중앙값 $30$ 분보다 크다. 90분짜리 한 명이 평균을 끌어올린 것이다. 중앙값은 꿈쩍도 하지 않았다 — 이것이 순서에 기반한 측도의 힘이다.
자료의 최솟값과 최댓값이 모두 들어가도록 눈금을 잡는다. 두 자료를 비교할 때는 반드시 같은 눈금을 쓴다.
상자의 왼쪽 변이 $Q_1$, 오른쪽 변이 $Q_3$. 상자의 길이가 곧 IQR이다.
$Q_2$ 자리에 세로선. 이 선이 상자 한가운데가 아니라 한쪽으로 쏠려 있으면 분포가 치우쳤다는 신호다.
상자에서 최솟값·최댓값까지 선을 긋고 끝에 짧은 세로 막대를 찍는다. 이상치를 따로 표시하는 경우에는 이상치가 아닌 값들 중 가장 작은 값·가장 큰 값까지만 수염을 뻗고, 이상치는 점으로 찍는다.
읽는 법 · 상자 안(20분~45분)에 전체의 약 절반이 들어 있다. 중앙값 선(30분)이 상자의 왼쪽에 치우쳐 있으므로, 상자 안에서도 아래쪽에 학생이 더 몰려 있다는 뜻이다. 오른쪽 수염이 왼쪽보다 길고 90분짜리 값이 멀리 떨어져 있다 — 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포다.
"90분은 너무 크다"는 느낌만으로는 판정할 수 없다. 기준이 필요하다. 통계에서 가장 널리 쓰이는 약속은 상자 길이(IQR)의 1.5배만큼 상자 밖으로 나간 값을 이상치(outlier)로 보는 것이다.
앞의 자료로 확인해 보자. IQR $= 25$ 이므로 $1.5 \times 25 = 37.5$.
아래쪽 경계 $= 20 - 37.5 = -17.5$ · 위쪽 경계 $= 45 + 37.5 = 82.5$.
$90$ 은 $82.5$ 를 넘으므로 이상치. 나머지 값은 모두 경계 안에 있으므로 오른쪽 수염은 $50$ 에서 멈춘다.
이상치를 만나면 지워야 하나?
아니다. 이상치는 "틀린 값"이 아니라 "설명이 필요한 값"이다. 측정 실수나 입력 오류일 수도 있지만, 정말로 90분을 읽는 학생일 수도 있다. 함부로 지우면 자료를 조작하는 것이 된다. 먼저 왜 그런 값이 나왔는지 확인하고, 지웠다면 지웠다는 사실과 이유를 반드시 밝혀야 한다.
여기서는 두 선이 똑같이 75점. 중심은 차이가 없다. 평균도 둘 다 75점이다.
A반 25점, B반 8점. B반은 대부분의 학생이 71~79점에 몰려 있다. B반이 훨씬 고르다. Ⅵ-2.2에서 구한 표준편차(약 12.9 대 약 4.4)도 같은 말을 한다.
A반은 55점부터 95점까지 걸쳐 있고 B반은 68점부터 82점 안에 다 들어온다. A반에는 아주 잘하는 학생과 많이 뒤처진 학생이 함께 있다.
두 자료 모두 중앙값 선이 상자 한가운데에 있어 좌우가 대칭에 가깝다. 한쪽으로 쏠려 있다면 그 반대쪽으로 꼬리가 긴 분포다.
해석 "두 반의 평균이 같으니 실력이 같다"는 결론은 절반만 맞다. 중심은 같지만 퍼짐이 3배 넘게 차이 난다. A반 교사에게는 수준별 지도가, B반 교사에게는 반 전체를 한 단계 올릴 수업이 필요하다. — 같은 평균에서 다른 처방이 나오는 이유가 이것이다.
아래 칸을 고치는 즉시 다섯 수 요약과 상자그림이 다시 계산된다. 자료 B를 비워 두면 하나만, 채우면 같은 눈금 위에 두 개가 그려진다. 값 하나를 크게 바꿔 보면서 중앙값과 평균 중 어느 쪽이 더 많이 움직이는지 관찰해 보라.
최솟값 · $Q_1$ · $Q_2$ · $Q_3$ · 최댓값. 자료가 몇 개든 요약은 다섯 수.
$Q_2$ 는 중앙값, $Q_1$ 은 아래 절반의 중앙값, $Q_3$ 은 위 절반의 중앙값.
$Q_3 - Q_1$ = 상자의 길이 = 가운데 절반의 폭. 퍼짐의 측도.
$Q_1 - 1.5 \times$ IQR 보다 작거나 $Q_3 + 1.5 \times$ IQR 보다 큰 값. 지우지 말고 설명하라.
같은 눈금 위에 나란히 → 중앙값 선 · 상자 길이 · 수염 · 치우침 순으로 읽는다.
중앙값·사분위수는 순서만 보므로 극단값 하나에 흔들리지 않는다. 평균·표준편차와의 결정적 차이.
다음 단계 — Ⅵ-2.6 통계적 탐구 대푯값(2.1) · 표준편차(2.2) · 산점도(2.3) · 해석(2.4) · 상자그림(2.5) 까지 도구를 모두 갖췄다. 이제 남은 질문은 하나다 — 언제 무엇을 꺼내 쓸 것인가. 문제를 스스로 세우고 자료를 모아 답까지 내는 과정을 통째로 연습한다.