Ⅴ-2.6 수행과제 · 삼각비 활용 마스터

①직각삼각형으로 높이 측량

Stage 1 · 직각삼각형의 변

STAGE 1 / 6

그림자로 건물 높이 재기

★ 기초

평지에 서 있는 건물 앞 $80\,\text{m}$ 지점에서 건물 꼭대기를 올려본각이 정확히 $60°$ 였다. 시야선·건물·지면이 이루는 직각삼각형을 그려 보고, 건물의 높이를 구해 보자.

물음. 건물의 높이 $h$ 를 구하여라.

① 어떤 삼각비를 쓰는가?

② 건물의 높이 h (단위 생략)

풀이 보기

높이 $h$ 와 거리 $80$ 의 비가 $\tan 60° = \sqrt{3}$. 따라서 $h = 80\tan 60° = 80\sqrt{3}\,\text{m}$.
$80\sqrt{3} \approx 138.6\,\text{m}$ — 약 40층 높이의 빌딩 규모.

②일반 삼각형 — 두 변 + 끼인각

Stage 2 · 수선 내리기

STAGE 2 / 6

호수 건너편 두 점 사이의 거리

★★ 표준

호수의 한쪽 기슭에 측정점 $B$ 를 잡았다. 호수 건너 두 점 $A$, $C$ 까지의 거리는 측정 가능하여 $\overline{AB}=12, \overline{BC}=8$ 이고 그 사잇각 $\angle B = 60°$ 였다. 호수를 건너지 않고 두 점 $A, C$ 사이의 거리 $b = \overline{AC}$ 를 구하라.

수선 분할 4단계로 $b = \overline{AC}$ 를 구하라.

① BH = ? (수선의 발까지의 거리)

② AH = ? (수선의 길이)

③ HC = ? ($\overline{BC} - \overline{BH}$)

④ b = AC = ? (피타고라스)

풀이 보기

$A$ 에서 $BC$ 에 수선 내림 → 직각삼각형 $ABH$.
① $BH = AB\cos B = 12\cos 60° = 12 \cdot \tfrac{1}{2} = 6$.
② $AH = AB\sin B = 12\sin 60° = 12 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.
③ $HC = BC - BH = 8 - 6 = 2$.
④ $b^2 = AH^2 + HC^2 = 108 + 4 = 112$ → $b = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$.

③일반 삼각형 — 한 변 + 두 각

Stage 3 · 두 각만 측정 가능할 때

STAGE 3 / 6

해안에서 등대까지 — 두 측정점

★★★ 도전

해안선을 따라 두 측정점 $A, B$ 를 $\overline{AB}=4\,\text{km}$ 간격으로 잡았다. 바다 위 등대 $C$ 를 두 점에서 바라본 각이 각각 $\angle A = 60°$, $\angle B = 75°$ 였다. 측정점 $B$ 에서 등대 $C$ 까지의 거리 $\overline{BC}$ 를 구하라. 전략: $B$ 에서 $AC$ 에 수선의 발 $H$ 를 내리면 두 직각삼각형 $\triangle ABH, \triangle BCH$ 가 만들어진다.

4단계 풀이. $B$ 에서 $AC$ 에 수선의 발 $H$ 를 내려라.

① ∠C = 180° - 60° - 75° = ?

② △ABH ($\angle A = 60°$, $AB = 4$) → $BH$ = ?

③ △BCH ($\angle C = 45°$, $BH = 2\sqrt{3}$, 직각 $\angle H$) → $\sin 45° = \dfrac{BH}{BC}$ 이용. $BC$ = ?

④ 등대까지의 거리 $\overline{BC}$ (km, 단위 생략)

풀이 보기

① $\angle C = 180° - 60° - 75° = 45°$.
② $B$ 에서 $AC$ 에 수선 내림 → 직각삼각형 $ABH$.
$\quad$ $BH = AB\sin A = 4\sin 60° = 4 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. ($AH = AB\cos A = 4\cos 60° = 2$)
③ 직각삼각형 $BCH$ 에서 $\angle C = 45°$.
$\quad$ $\sin 45° = \dfrac{BH}{BC}$ → $BC = \dfrac{BH}{\sin 45°} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}/2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$.
④ $\therefore \; \overline{BC} = 2\sqrt{6}\,\text{km} \approx 4.9\,\text{km}$.
두 각·한 변만 측정해도 등대까지의 거리가 정확히 결정된다.

④삼각형의 넓이 산정

Stage 4 · S = ½ab sin C

STAGE 4 / 6

들판의 넓이 측정

★★ 표준

삼각형 모양 들판의 두 변과 끼인각을 측정한 결과: $a = 20\,\text{m}$, $b = 16\,\text{m}$, $\angle C = 120°$. 이 들판의 넓이는?

물음. 들판의 넓이 $S$ 를 구하여라.

① sin 120° = ?

② 넓이 S (단위 m²)

풀이 보기

$\sin 120° = \sin(180°-120°) = \sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C = \tfrac{1}{2}(20)(16)\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 80\sqrt{3}\,\text{m}^2$.
$80\sqrt{3} \approx 138.6\,\text{m}^2$ — 한 변이 약 $11.8\,\text{m}$ 인 정사각형 크기.

⑤사각형 — 두 가지 공식 동시 검증

Stage 5 · 평행사변형 vs 대각선 공식

STAGE 5 / 6

평행사변형 — 변 공식과 대각선 공식의 일치

★★★ 도전

평행사변형 $ABCD$ 에서 $\overline{AB}=6, \overline{AD}=8$, $\angle A = 60°$ 이다.
방법 ①: 평행사변형 공식 $S = ab\sin C$ 로 넓이를 구한다.
방법 ②: 두 대각선의 길이와 사잇각을 직접 구해 $S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$ 로 다시 구한다.
두 값이 일치하는지 확인하라.

방법 ① — 변 공식

① S = ab sin A = ?

② 위 답의 근사값 (소수 둘째 자리)

방법 ② — 대각선 공식 (대각선 BD, AC를 먼저 구한다)

③ 짧은 대각선 BD = ? (△ABD, ∠A=60°)

④ 긴 대각선 AC = ? (△ABC, ∠B=120°)

두 방법의 값이 같음을 확인하고, 그 의미를 1~2문장으로 서술하라.

풀이 보기

방법 ①: $S = (6)(8)\sin 60° = 48 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \approx 41.57$.
방법 ②:

$\triangle ABD$ ($\angle A=60°$): $BD^2 = 6^2+8^2-2(6)(8)\cos 60° = 36+64-48 = 52$. $BD = 2\sqrt{13}$.
$\triangle ABC$ ($\angle B=120°$): $AC^2 = 6^2+8^2-2(6)(8)\cos 120° = 100+48 = 148$. $AC = 2\sqrt{37}$.
대각선의 사잇각 $\theta$ 에 대해 $S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta = 24\sqrt{3}$ 으로부터 $\sin\theta = \dfrac{48\sqrt{3}}{2\cdot 2\sqrt{13}\cdot 2\sqrt{37}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{481}}$.

두 방법의 결과가 일치 ($S=24\sqrt{3}$). 측정 정보가 달라도 결국 같은 넓이가 결정된다 — 이것이 공식의 일관성.

⑥종합 — 측량가의 보고서

Stage 6 · 실생활 응용 종합

STAGE 6 / 6

학교 화단의 측량 보고서 작성

★★★ 종합

학교에 새 마름모 모양 화단을 설치한다. 한 변의 길이가 $4\,\text{m}$ 이고 한 내각이 $\angle A = 60°$ 이다. 흙을 채우려면 넓이를, 펜스를 설치하려면 둘레를, 두 갈래 산책로를 만들려면 두 대각선의 길이를 알아야 한다. 변 공식과 대각선 공식 두 가지로 넓이를 구하여 결과가 일치하는지 검증하라.

① 변 공식으로 넓이

① S = a²·sin A = ?

② 위 답의 근사값 (소수 둘째 자리)

② 두 대각선 구하기 — 마름모이므로 △ABD는 ∠A=60°·AB=AD인 이등변삼각형 (사실은 정삼각형!)

③ 짧은 대각선 BD = ? (△ABD에서)

④ 긴 대각선 AC = ? (△ABC에서 ∠B=120°)

③ 대각선 공식으로 넓이 검증 — 마름모이므로 대각선이 수직 ($\theta=90°$)

⑤ S = ½·d₁·d₂·sin 90° = ?

⑥ 화단의 둘레 (4변의 합)

측량가의 보고서 — 두 방법으로 구한 넓이가 같다는 사실의 의미를 2~3문장으로 서술하라.

풀이 보기

① 변 공식: $S = a^2\sin A = 16\sin 60° = 16 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13.86\,\text{m}^2$.
② 두 대각선:

$\triangle ABD$: $AB=AD=4$, $\angle A=60°$ → 정삼각형. $BD = 4$.
$\triangle ABC$: $AB=BC=4$, $\angle B = 180°-60° = 120°$. $AC^2 = 16+16-32\cos 120° = 32+16=48$. $AC = 4\sqrt{3}$.

③ 대각선 공식 검증: 마름모의 두 대각선은 수직 ($\theta=90°$). $S = \tfrac{1}{2}(4)(4\sqrt{3})\sin 90° = 8\sqrt{3}\,\text{m}^2$. ✓
둘레: $4 \times 4 = 16\,\text{m}$.
두 방법이 같은 값을 산출 → 공식의 일관성. 마름모는 $\theta=90°$ 라는 특수성 덕분에 대각선 공식이 더 간단한 형태 $\tfrac{1}{2}d_1d_2$ 로 정리된다.

측량 완료 — 최종 점검

여섯 단계의 측량을 마쳤습니다. 빈 곳이 있다면 차분히 돌아가서 채우세요. 모두 통과하면 단원의 도구 일체를 손에 익힌 것입니다.

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