중학교 수학 / 3학년 / Ⅴ. 삼각비 / 2. 삼각비의 활용 / 3. 삼각형의 넓이
Ⅴ-2.3 ★ Core Lesson 9수04-08 2022 개정 교육과정

두 변과 끼인각만으로
삼각형의 넓이를 손에 쥐다

밑변과 높이를 동시에 측량할 수 없는 들판·해안·천체의 삼각형. 그러나 두 변과 그 사이 각만 알면 넓이는 한 줄의 식 $S = \tfrac{1}{2}ab\sin C$ 로 정확히 결정된다. 사인의 정의가 곧 높이의 다른 이름이라는 사실에서 출발하자.

01왜 이 식이 필요한가

Motivation
"삼각형의 넓이는 밑변 × 높이 ÷ 2…
그런데 높이를 측량할 수 없다면?"
들판의 세 꼭짓점에 서서 두 변의 길이와 그 사이 각만 잴 수 있을 때, 우리는 수선의 길이를 직접 재지 않고도 넓이를 알아낼 방법이 필요하다. 사인이 그 답이다.
h = b sin C B C A a c b C

02핵심 공식 — 사인이 곧 높이다

Core formula

$\triangle ABC$ 에서 끼인각 $C$ 를 사이에 두는 두 변의 길이를 $a, b$ 라 하자. 꼭짓점 $A$ 에서 변 $BC$ 에 수선을 내리면 그 길이가 $h = b \sin C$ 이므로, 넓이는 다음과 같다.

Case ① 끼인각이 예각

$0° < C \le 90°$

$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$

수선의 발이 변 $BC$ 위에 떨어진다. 높이 $h = b\sin C$ 가 직접 적용된다.

B C A C
Case ② 끼인각이 둔각

$90° < C < 180°$

$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin(180°-C)$

수선의 발이 변 $BC$ 의 연장선에 떨어진다. 보각의 사인을 이용한다. 단, $\sin C = \sin(180°-C)$ 이므로 식의 모양은 같다.

B C A C
통합 공식

예각·직각·둔각 모두

$\displaystyle \boxed{\;S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C\;}$

$\sin 90° = 1$ 이고 $\sin(180°-\theta)=\sin\theta$ 이므로, 끼인각의 크기와 무관하게 같은 한 줄의 식이 작동한다. 단, 둔각의 경우 $\sin$ 값은 보각으로 환산한다.

$\sin 120° = \sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\;\sin 135° = \sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\;\sin 150° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}$

03유도 — 사인 정의 한 줄로 끝낸다

Derivation walk-through

예각 케이스 유도

GIVEN · $\triangle ABC$, two sides $a = BC$, $b = CA$, included angle $\angle C$ (acute)
B C A H c b a h C
STEP 1
꼭짓점 $A$ 에서 변 $BC$ 에 수선을 내려 발을 $H$ 라 한다. 그러면 $\triangle AHC$ 는 직각삼각형.
STEP 2
직각삼각형 $AHC$ 에서 $\sin C = \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{h}{b}$ 이므로 $h = b\sin C$.
STEP 3
$S = \tfrac{1}{2}\cdot \text{(밑변)}\cdot \text{(높이)} = \tfrac{1}{2}\cdot a \cdot b\sin C$.
STEP 4
결과: $\displaystyle S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$. 끼인각의 사인이 곧 높이의 다른 이름이다.
$\therefore \; S = \dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$

둔각 케이스 유도

GIVEN · $\triangle ABC$ with $\angle C$ obtuse $(90° < C < 180°)$
B C A H b a c C
STEP 1
$\angle C$ 가 둔각이면 $A$ 에서 내린 수선의 발 $H$ 는 $BC$ 의 연장선 위에 있다.
STEP 2
$\angle ACH = 180° - C$ (보각). 직각삼각형 $AHC$ 에서 $\sin(180°-C) = \dfrac{h}{b}$.
STEP 3
$\sin(180°-C) = \sin C$ 이므로 $h = b\sin C$. 예각일 때와 같은 형태.
STEP 4
$S = \tfrac{1}{2}\cdot a \cdot h = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$. 같은 공식이 둔각에서도 통한다.
$\therefore \; S = \dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin(180°-C) = \dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$

04완성 — 예각·직각·둔각 한눈에

Three cases unified

예각 (C = 60°)

$a=8, b=6$ 일 때
$S = \tfrac{1}{2}(8)(6)\sin 60° = 24 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

B C A 60°

둔각 (C = 120°)

$a=8, b=6$ 일 때
$S = \tfrac{1}{2}(8)(6)\sin 120° = 24 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

B C A 120°

관찰  두 삼각형의 끼인각은 $60°$ 와 $120°$ 로 서로 보각이지만, $\sin 60° = \sin 120° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로 두 변의 길이가 같으면 넓이는 정확히 같다. 보각의 사인이 같다는 항등식이 공식 한 줄에 녹아 있다.

05실험실 — 끼인각을 움직여 넓이를 본다

Interactive area lab

두 변과 끼인각 슬라이더

두 변 $a, b$ 와 끼인각 $C$ 를 조절하면, 넓이가 어떻게 변하는지 실시간으로 확인할 수 있다. $C=90°$ 일 때 넓이가 최대가 되는 것을 관찰하라.

8
6
60°

06개념 점검 5문항

Quick check
QC 01
$\triangle ABC$ 에서 $a=4, b=6, \angle C = 30°$ 일 때 넓이는?
정답 보기
$S = \tfrac{1}{2}(4)(6)\sin 30° = 12 \cdot \tfrac{1}{2} = \mathbf{6}$
QC 02
$a=8, b=6, \angle C = 60°$ 일 때 $\triangle ABC$ 의 넓이는?
정답 보기
$S = \tfrac{1}{2}(8)(6)\sin 60° = 24 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{12\sqrt{3}}$
QC 03
$a=10, b=8, \angle C = 45°$ 일 때 넓이는?
정답 보기
$S = \tfrac{1}{2}(10)(8)\sin 45° = 40 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{20\sqrt{2}}$
QC 04
$a=6, b=8, \angle C = 120°$ 일 때 넓이는?
정답 보기
$\sin 120° = \sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. $S = \tfrac{1}{2}(6)(8)\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{12\sqrt{3}}$
QC 05
$a=4, b=10, \angle C = 135°$ 일 때 넓이는?
정답 보기
$\sin 135° = \sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$. $S = \tfrac{1}{2}(4)(10)\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{10\sqrt{2}}$

07예제 2선

Worked examples
예제 1 · 예각 끼인각

$\triangle ABC$ 에서 $\overline{BC}=10, \overline{AC}=12, \angle C = 60°$ 일 때 넓이를 구하여라.

식 적용 · 끼인각 $C$ 양옆의 두 변이 $a=10, b=12$ 이므로 $S = \tfrac{1}{2}ab\sin C$.
대입 · $S = \tfrac{1}{2}(10)(12)\sin 60° = 60 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$.
해석 · 같은 두 변으로 직각을 이루면 $S = \tfrac{1}{2}(10)(12) = 60$ 이 최대. $\sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ 비율만큼 작아진다.
$\therefore \; S = 30\sqrt{3}$
예제 2 · 둔각 끼인각

$\triangle ABC$ 에서 $\overline{BC}=6, \overline{AC}=10, \angle C = 150°$ 일 때 넓이를 구하여라.

보각 변환 · $\sin 150° = \sin(180°-150°) = \sin 30° = \tfrac{1}{2}$.
식 대입 · $S = \tfrac{1}{2}(6)(10)\sin 150° = 30 \cdot \tfrac{1}{2} = 15$.
해석 · 둔각 케이스의 식 모양은 예각과 동일하다 — 사인의 보각 항등식이 보장한다.
$\therefore \; S = 15$

08연습 8문항

Practice · ★ basic / ★★ standard / ★★★ challenge
P01★
$\triangle ABC$ 에서 $a=6, b=4, \angle C=30°$ 일 때 넓이를 구하여라.
풀이 보기
$S=\tfrac{1}{2}(6)(4)\sin 30° = 12\cdot\tfrac{1}{2}=6$
P02★
$a=8, b=10, \angle C = 60°$ 일 때 $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하여라.
풀이 보기
$S=\tfrac{1}{2}(8)(10)\sin 60° = 40\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$
P03★
$a=6, b=8, \angle C = 45°$ 일 때 넓이를 구하여라.
풀이 보기
$S=\tfrac{1}{2}(6)(8)\sin 45° = 24\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=12\sqrt{2}$
P04★★
$a=4, b=12, \angle C = 120°$ 일 때 $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하여라.
풀이 보기
$\sin 120° = \sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. $S=\tfrac{1}{2}(4)(12)\tfrac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$
P05★★
$a=10, b=6, \angle C = 150°$ 일 때 넓이를 구하여라.
풀이 보기
$\sin 150° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}$. $S=\tfrac{1}{2}(10)(6)\tfrac{1}{2}=15$
P06★★
$\triangle ABC$ 에서 $a=8, b=6$ 이고 넓이가 $12\sqrt{3}$ 일 때 $\angle C$ 의 크기를 모두 구하여라.
풀이 보기
$\tfrac{1}{2}(8)(6)\sin C = 12\sqrt{3}$ → $\sin C = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ → $C=60°$ 또는 $C=120°$.
두 변과 사이각 한 쌍의 사인 값만 정해지면, 예각·둔각 두 가지가 모두 가능하다.
P07★★★
$\triangle ABC$ 에서 $\overline{AB}=4, \overline{BC}=6$ 이고 $\sin B = \tfrac{3}{4}$ 일 때 넓이를 구하여라.
풀이 보기
끼인각이 $\angle B$ 이고 그 양옆 변이 $\overline{AB}=4, \overline{BC}=6$ 이므로 $S=\tfrac{1}{2}(4)(6)\cdot\tfrac{3}{4}=12\cdot\tfrac{3}{4}=9$.
각의 크기를 모르더라도 $\sin B$ 값만 알면 공식이 그대로 작동한다.
P08★★★
$\triangle ABC$ 에서 $a=6, b=10$ 이고 넓이가 $15\sqrt{3}$ 일 때, $\angle C$ 의 크기를 모두 구하여라.
풀이 보기
$\tfrac{1}{2}(6)(10)\sin C = 15\sqrt{3}$ → $30\sin C = 15\sqrt{3}$ → $\sin C = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$0°<C<180°$ 안에서 $\sin C = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 인 각은 $C=60°$ 또는 $C=120°$.

09한 줄로 정리

Synthesis

핵심 공식

$S = \tfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$. 두 변과 그 사이 각만 알면 끝.

유도의 본질

$\sin C$ 는 곧 높이의 다른 이름. $h = b\sin C$ 를 $\tfrac{1}{2}\cdot a\cdot h$ 에 대입한 결과다.

둔각의 처리

$\sin C = \sin(180°-C)$ 항등식 덕분에 식 모양이 그대로. 보각의 사인으로 계산.

역방향 문제

넓이가 주어지고 끼인각을 찾을 때, $\sin C$ 값 하나에 대해 예각·둔각 두 답이 가능하다.

다음 단계 — Ⅴ-2.4 사각형의 넓이  삼각형 공식의 자연스러운 확장. 평행사변형은 $S=ab\sin C$ (1/2 없음), 임의 사각형은 대각선으로 두 삼각형으로 분할한 뒤 더한다. 핵심은 여전히 "사인 = 높이"라는 한 줄의 통찰이다.