삼각비는 직각삼각형에서만 정의되었다. 그러면 일반 삼각형에서는 어떻게 변을 구할까? 해답은 단순하다 — 수선을 내려 직각삼각형을 만든다. 한 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선의 발을 내리면, 원래 삼각형이 직각삼각형 두 개로 깔끔히 분할된다.
— 수선이 다리가 되어 두 삼각형을 잇는다 —
수선 내리기 — 직각삼각형 두 개로 분할
1기본 아이디어
삼각형 $\triangle ABC$ 에서 한 꼭짓점(예: $A$)에서 마주보는 변($\overline{BC}$)에 수선의 발 $H$ 를 내리면:
② $\triangle ABH$ 와 $\triangle ACH$ — 두 직각삼각형이 생김
③ 각 직각삼각형에서 Ⅴ-2.1 의 삼각비 공식 적용 가능
23단계 절차
알고 있는 각의 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선의 발 내리기.
수선 길이 $h$ 와 양옆의 변 부분을 각각 삼각비로 계산.
구하려는 변 = $\sqrt{h^2 + (변의 한 부분)^2}$ 또는 두 부분 길이의 합.
두 변과 끼인각이 주어진 경우
예제 — $a = 8, c = 12, \angle B = 60°$ 일 때 $b$ 의 길이
($\angle B$ 가 끼인각, $a = \overline{BC}$, $c = \overline{AB}$, $b = \overline{AC}$ — 구하는 변)
$\triangle ABH$ 는 $\angle H = 90°$, 빗변 $\overline{AB} = c = 12$, 한 예각 $\angle B = 60°$ 인 직각삼각형.
$\overline{BH} = c \cos B = 12 \cos 60° = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$
주어진 조건에 따라 풀이가 갈린다
두 변 + 그 끼인각
끼인각의 마주보는 변에 수선 내림 → 직각삼각형 두 개로 분할 → 피타고라스로 종합.
한 변 + 양 끝각
마주보는 꼭짓점에서 수선 내림. 두 직각삼각형의 같은 수선 길이로 연립.
둔각이 끼인 경우 ($\angle B > 90°$)
$\angle B$ 가 둔각이면 수선의 발 $H$ 가 $\overline{BC}$ 의 연장선 위에 떨어진다. 이때는:
예) $\angle B = 120°$ → $\triangle ABH$ 에서 $\angle ABH = 180° - 120° = 60°$ 사용
나머지는 같은 방식. 길이 결합 시 $\overline{BC} + \overline{BH}$ 로 (빼는 게 아니라 더하기).
풀이가 있는 두 예제
$\triangle ABC$ 에서 $a = 5, c = 8, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이를 구하라.
- $\triangle ABH$ : $\overline{AH} = 8 \sin 60° = 4\sqrt{3}, \;\; \overline{BH} = 8 \cos 60° = 4$
- $\overline{HC} = a - \overline{BH} = 5 - 4 = 1$
- $b = \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{HC}^2} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7$
- 결과 → $b = 7$
$\triangle ABC$ 에서 $a = 3, c = 5, \angle B = 120°$. $b$ 의 길이를 구하라.
- 보각 : $\angle ABH = 180° - 120° = 60°$ 사용
- $\triangle ABH$ : $\overline{AH} = 5 \sin 60° = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}, \;\; \overline{BH} = 5 \cos 60° = \dfrac{5}{2}$
- $\overline{HC} = a + \overline{BH} = 3 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{11}{2}$ (둔각이므로 더하기)
- $b = \sqrt{\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{11}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{75}{4} + \dfrac{121}{4}} = \sqrt{\dfrac{196}{4}} = \sqrt{49} = 7$
- 결과 → $b = 7$
5문제 즉시 점검
난이도별 연습 8문제
$\triangle ABC$ 에서 $a = 2, c = 2\sqrt{3}, \angle B = 30°$. $b$ 의 길이는?
$a = 3, c = 4, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는? (예: √13)
$a = 4, c = 4\sqrt{2}, \angle B = 45°$. $b$ 의 길이는?
$a = 4, c = 8, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는?
$a = 5, c = 8, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는?
$a = 6, c = 12, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는?
$a = 3, c = 5, \angle B = 120°$ (둔각). $b$ 의 길이는?
$a = 2, c = 4, \angle B = 120°$ (둔각). $b$ 의 길이는? (예: 2√7)
수선이 다리가 된다
직각이 없으면 — 직각을 만들면 된다. 한 꼭짓점에서 수선을 내려 일반 삼각형을 직각삼각형 두 개로 환원하는 우아한 기법. 이 한 가지 발상으로 모든 일반 삼각형의 변이 손에 들어온다. 다음 차시에서는 같은 발상을 넓이로 확장한다.