사다리를 직접 올라가 자로 잴 필요 없다. 사다리가 벽과 만드는 각도 $70°$ 와 사다리 길이 $5$ m 만 알면, 삼각비로 즉시 답이 나온다. 높이 $= 5 \times \sin 70° \approx 5 \times 0.9397 = 4.6985$ m.
3가지 변환 공식
삼각비 정의 → 변 길이 공식
삼각비의 정의를 등식 변형하면 변의 길이를 직접 구하는 공식이 된다.
$\cos A = \dfrac{\text{인접변}}{\text{빗변}} \;\;\Rightarrow\;\; \text{인접변} = \text{빗변} \times \cos A$
$\tan A = \dfrac{\text{대변}}{\text{인접변}} \;\;\Rightarrow\;\; \text{대변} = \text{인접변} \times \tan A$
빗변 + 각 → 대변
빗변과 한 예각을 알면 대변이 즉시 결정.
빗변 + 각 → 인접변
빗변과 한 예각으로 인접변도 결정.
인접변 + 각 → 대변
인접변을 알 때 대변 구하기.
예시 1 — 빗변과 각으로 두 변 구하기
빗변 $8$, $\angle A = 30°$ → 대변과 인접변
예시 2 — 한 변과 각으로 빗변 구하기
대변 $5$, $\angle A = 30°$ → 빗변
식 변형 — $\sin A = \dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}}$ 에서 빗변을 모르는 변수로 두고 풀이.
측량의 원리 — 직접 갈 수 없는 곳의 거리
삼각비는 측량의 가장 오래된 도구
한 점에서 어떤 거리(인접변)와 그 끝의 대상이 보이는 각도(올려본각 또는 내려본각)를 알면, 그 대상의 높이나 깊이를 즉시 계산할 수 있다.
예 — 건물 높이 구하기
건물에서 $20$ m 떨어진 곳에서 건물 꼭대기를 올려보는 각도가 $60°$ 일 때, 건물 높이는?
$\text{높이} = 20 \times \tan 60° = 20 \sqrt{3} \approx 34.64$ m
변의 길이 계산기
빗변과 각을 입력하면 대변과 인접변이 자동 계산된다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
직각삼각형에서 빗변 $8$, $\angle A = 30°$. 대변과 인접변의 길이를 모두 구하라.
- 대변 $= 8 \times \sin 30° = 8 \times \dfrac{1}{2} = 4$
- 인접변 $= 8 \times \cos 30° = 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$
- 피타고라스 검증 : $4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64 = 8^2$ ✓
- 결과 → 대변 $4$, 인접변 $4\sqrt{3}$
지상에서 건물 꼭대기를 올려본각이 $60°$, 건물에서 $20$ m 떨어진 곳에서 볼 때 건물 높이를 구하라.
- 관계식 : $\tan 60° = \dfrac{\text{건물 높이}}{20}$
- $\text{높이} = 20 \times \tan 60° = 20 \sqrt{3}$
- 근사값 → $20 \times 1.7321 \approx$ $34.64$ m
난이도별 연습 8문제
빗변 $12$, $\angle A = 30°$ 일 때 대변의 길이는?
빗변 $12$, $\angle A = 30°$ 일 때 인접변의 길이는? (예: 6√3)
빗변 $8$, $\angle A = 45°$ 일 때 대변의 길이는?
빗변 $10$, $\angle A = 60°$ 일 때 대변의 길이는?
인접변 $6$, $\angle A = 45°$ 일 때 대변의 길이는?
인접변 $4$, $\angle A = 60°$ 일 때 대변의 길이는?
길이 $6$ m 인 사다리가 지면과 $60°$ 로 기울어져 있다. 벽에 닿는 사다리 끝의 높이는? (단위 m)
대변 $8$, $\angle A = 45°$ 일 때 빗변의 길이는?
한 각과 한 변 — 그것이 전부다
한 각과 한 변만 알면 나머지 두 변이 즉시 구해진다. 직접 자로 잴 수 없는 길이를 — 산의 높이, 강의 너비, 별까지의 거리를 — 모두 이 단순한 도구로 잰다. 다음 차시에서는 직각이 아닌 일반 삼각형의 변을 구하는 방법을 배운다.