1.3 예각의 삼각비 | 중학교 3학년 수학

Hook · 도입

"$\sin 37°$ 의 값은 얼마일까?"

$37°$ 는 특수각이 아니므로 도형으로 정확히 계산하기 어렵다. 그러나 누군가가 이미 정밀하게 계산해둔 값이 있다 — 바로 삼각비표. $\sin 37° \approx 0.6018$. 표를 펼쳐 읽기만 하면 된다.

2200년 전부터 만든 표
히파르코스의 현(chord) 표 → 프톨레마이오스의 정밀화 → 아라비아의 sin 표 → 오늘날 계산기·교과서 부록의 삼각비표
— 인류가 수천 년에 걸쳐 쌓은 정밀한 값.

Core · 표

삼각비표 — 예각의 정밀한 값

The Table of Trigonometric Values

5° 간격 삼각비표 (소수 4째 자리)

θ	sin θ	cos θ	tan θ
30°	0.5000	0.8660	0.5774
35°	0.5736	0.8192	0.7002
40°	0.6428	0.7660	0.8391
45°	0.7071	0.7071	1.0000
50°	0.7660	0.6428	1.1918
55°	0.8192	0.5736	1.4281
60°	0.8660	0.5000	1.7321

특수각(30°, 45°, 60°) 의 정확값과 표의 소수값이 일치하는지 확인 — 예) $\sin 30° = 0.5000 = \dfrac{1}{2}$ ✓

표 읽는 법

각의 행을 찾는다

예) $\sin 40°$ → 첫째 열에서 $40°$ 찾기

해당 삼각비의 열에서 값을 읽는다

$\sin 40° = 0.6428$

필요시 보간(interpolation)

표에 없는 각(예: 37°)은 인접한 두 값 사이의 비례로 추정 — 중학교에서는 보통 5° 단위로 끝.

Insight · 값의 변화

각이 커질 때 삼각비의 변화

How Ratios Change with the Angle

예각 $\theta$ 가 $0°$ 에서 $90°$ 로 커지면

sin

증가 ↗

$0$ → $1$

cos

감소 ↘

$1$ → $0$

tan

증가 ↗ (가파르게)

$0$ → ∞ (90° 에서 정의되지 않음)

핵심 관찰. $\sin$ 과 $\cos$ 의 값은 항상 $0$ 과 $1$ 사이. $\tan$ 는 $0°$ 부터 무한대로 — 직각에 가까워질수록 폭발적으로 증가.

Insight · 여각

여각(餘角)의 관계

Complementary Angle Identities

$\sin \theta = \cos (90° - \theta)$

$\cos \theta = \sin (90° - \theta)$

두 예각의 합이 $90°$ 일 때, 한 각의 sin은 다른 각의 cos과 같다.

왜? — 직각삼각형의 두 예각

직각삼각형의 두 예각 $A, B$ 는 $A + B = 90°$. 한 각의 대변은 다른 각의 인접변이 된다 (반대로도). 그래서:

$\sin A = \dfrac{\text{A의 대변}}{\text{빗변}} = \dfrac{\text{B의 인접변}}{\text{빗변}} = \cos B = \cos(90° - A)$

예) $\sin 25° = \cos 65°$ (왜? $25° + 65° = 90°$)
예) $\sin 47° = \cos 43°$
예) $\tan \theta \cdot \tan(90°-\theta) = 1$ (역수 관계)

이 관계 덕분에 삼각비표가 $0° \sim 45°$ 만 있어도 $45° \sim 90°$ 의 값을 모두 알 수 있다 — 표의 절반이 절약!

Apply · 활용

삼각비표 활용 — 변의 길이 구하기

Using the Table to Find Side Lengths

주어진 각·한 변에서 다른 변 구하기

직각삼각형의 한 예각과 한 변을 알면, 삼각비를 곱하거나 나눠 다른 변을 구할 수 있다.

대변 = 빗변 × sin (각의 대변)
인접변 = 빗변 × cos
대변 = 인접변 × tan

예) 직각삼각형에서 $\angle A = 35°$, 빗변 $= 10$. 대변 길이는?

관계식 — sin 사용 (대변·빗변)

$\sin 35° = \dfrac{\text{대변}}{10}$

표에서 $\sin 35°$ 읽기

$\sin 35° = 0.5736$

대변 계산

대변 $= 10 \times 0.5736 = 5.736$

Interactive · 실험실

각도 슬라이더 — 삼각비 즉시 보기

Live Trigonometric Values

각도를 움직이면 $\sin, \cos, \tan$ 값이 실시간으로 바뀐다.

각도 θ = 45°

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. 표에서 $\sin 35°$ 의 값을 찾아라. (예: 0.5736)

Q2. $\cos 60°$ 의 값을 표에서 읽어라. (소수 또는 분수)

Q3. $\sin 40°$ 와 $\sin 50°$ 중 더 큰 값은? (예: sin 50°)

Q4. $\cos 40°$ 와 $\cos 50°$ 중 더 큰 값은?

Q5. $\sin 30° = \cos \square$ 일 때 □는? (각도, 도 단위 없이 숫자만)

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1 · 여각의 활용

$\sin 47° \approx 0.7314$ 일 때, $\cos 43°$ 의 값을 구하라.

두 각의 합 = 90° 이므로 여각의 성질 적용.

$47° + 43° = 90°$ → 두 각은 서로 여각
여각의 성질 : $\sin \theta = \cos (90° - \theta)$
$\sin 47° = \cos (90° - 47°) = \cos 43°$
그러므로 $\cos 43° = 0.7314$

예제 2 · 표 활용 변 구하기

직각삼각형에서 $\angle A = 40°$, 인접변 $= 8$. 대변의 길이를 구하라. ($\tan 40° = 0.8391$)

대변·인접변 관계 — $\tan$ 사용.

관계식 : $\tan A = \dfrac{\text{대변}}{\text{인접변}}$
$\tan 40° = \dfrac{\text{대변}}{8}$
대변 $= 8 \times \tan 40° = 8 \times 0.8391$
$= 6.7128$ ≈ $6.71$

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

표에서 $\sin 40°$ 의 값을 찾아라.

02★

표에서 $\cos 50°$ 의 값을 찾아라. (참고: $\sin 40°$ 와 같다)

03★★

$\sin 35°$ 와 $\sin 55°$ 중 더 큰 값은? (예: sin 55°)

04★★

$\cos 35°$ 와 $\cos 55°$ 중 더 큰 값은?

05★★

$\tan 40°$ 와 $\tan 50°$ 중 더 큰 값은?

06★★

$\sin 60° = \cos \square$ 일 때 □ 의 값은? (각도, 숫자만)

07★★★

$\sin 47° \approx 0.7314$ 일 때 $\cos 43°$ 의 값은?

08★★★

직각삼각형에서 $\angle A = 35°$, 인접변 $= 10$. 대변 길이를 구하라. ($\tan 35° = 0.7002$, 소수 셋째 자리까지)

표 한 페이지, 모든 예각의 값

직접 계산할 수 없는 임의의 예각도 표 한 페이지면 즉시 답을 알 수 있다. 여각의 성질로 표의 절반을 절약하고, 각이 커질수록 sin·tan은 커지고 cos은 줄어든다는 직관도 함께. 다음 차시에서는 $0°$ 와 $90°$ 라는 극한 각으로 삼각비를 확장한다.

"Hipparchus' table — humanity's first computational tool."