모양은 달라도 각이 같으면 변의 비율은 모두 같다. ∠A가 일정한 모든 직각삼각형에서, 대변과 빗변의 비, 인접변과 빗변의 비, 대변과 인접변의 비 — 이 세 가지가 한꺼번에 결정된다. 그것이 바로 삼각비.
직각삼각형의 세 변에 이름 붙이기
기준 각 $A$ 에 따라 세 변이 정해진다
직각삼각형 $\triangle ABC$ 에서 $\angle C = 90°$ 이고, 기준 각을 $A$ 라 하자.
대변 (Opposite) — 각 $A$ 의 맞은편 변 ($\overline{BC}$)
인접변 (Adjacent) — 각 $A$ 에 닿아 있는 변 (빗변이 아닌) ($\overline{AC}$)
세 가지 비율 — $\sin, \cos, \tan$
한 예각에서 정의되는 세 비율
"$A$ 의 사인" — 대변과 빗변의 비.
"$A$ 의 코사인" — 인접변과 빗변의 비.
"$A$ 의 탄젠트" — 대변과 인접변의 비.
예시 — $3$-$4$-$5$ 직각삼각형
직각 $C$, 대변 $a = 3$ (∠A의 맞은편), 인접변 $b = 4$, 빗변 $c = 5$.
- $\sin A = \dfrac{3}{5}$ (대변 / 빗변)
- $\cos A = \dfrac{4}{5}$ (인접변 / 빗변)
- $\tan A = \dfrac{3}{4}$ (대변 / 인접변)
SOH-CAH-TOA
Cos = Adjacent / Hypotenuse
Tan = Opposite / Adjacent
전 세계 학생들이 외우는 암기법. 영어로 "쏘카토아"로 발음. 세 비율의 정의를 한 번에 기억할 수 있다.
닮은 삼각형 — 삼각비의 불변성
각이 같으면 비율도 같다
각이 같은 두 직각삼각형은 닮음. 닮은 도형에서 대응하는 변의 비는 모두 같으므로, $\sin, \cos, \tan$ 의 값도 같다.
작은 것 : $3$ - $4$ - $5$ → $\sin A = 3/5$
큰 것 (2배) : $6$ - $8$ - $10$ → $\sin A = 6/10 = 3/5$ ✓
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ — 피타고라스의 부산물
직각삼각형에서 피타고라스 정리 $(대변)^2 + (인접변)^2 = (빗변)^2$. 양변을 (빗변)² 으로 나누면:
$\Rightarrow \;\; \sin^2 A + \cos^2 A = 1$
이 항등식이 삼각비의 가장 기본적인 관계 — 고등학교에서도 계속 등장한다.
삼각비 계산기
대변과 인접변 길이를 입력하면 $\sin, \cos, \tan$ 가 자동 계산된다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
직각삼각형 ($\angle C = 90°$) 에서 $a = 6, b = 8$ 일 때, $\sin A, \cos A, \tan A$ 를 모두 구하라.
- 빗변 $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
- $\sin A = \dfrac{a}{c} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$
- $\cos A = \dfrac{b}{c} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$
- $\tan A = \dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$
- $\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$ ✓ (피타고라스 항등식 확인)
직각삼각형에서 $\sin A = \dfrac{3}{5}$ 일 때, $\cos A$ 와 $\tan A$ 를 구하라.
- $\sin A = \dfrac{3}{5}$ → 대변 = 3, 빗변 = 5
- 피타고라스 : 인접변 $= \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$
- $\cos A = \dfrac{4}{5}$, $\tan A = \dfrac{3}{4}$
- 검증 : $\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$ ✓
난이도별 연습 8문제
직각삼각형 ($\angle C = 90°$) 에서 $a = 6, b = 8$, 빗변 $10$. $\sin A$ 의 값은?
같은 삼각형에서 $\cos A$ 의 값은?
같은 삼각형에서 $\tan A$ 의 값은?
직각삼각형에서 $\sin A = \dfrac{4}{5}$ 일 때 $\cos A$ 의 값은? [힌트: 피타고라스]
직각삼각형에서 $\cos A = \dfrac{5}{13}$ 일 때 $\sin A$ 의 값은?
직각삼각형에서 $\tan A = \dfrac{1}{2}$ 일 때 $\sin A$ 의 값은? (예: √5/5)
직각삼각형 ($\angle C = 90°$) 에서 $a = 9, b = 12$, 빗변 $15$ 일 때, $\angle B$ 의 대변은 $9$이므로 $\sin B$ 의 값은? [힌트: 기준 각이 $B$ 라면 대변·인접변이 바뀐다]
$\sin A = \dfrac{3}{5}$, $\cos A = \dfrac{4}{5}$ 일 때 $\sin^2 A + \cos^2 A$ 의 값은?
세 변, 세 비율 — 한 각이 모든 것을 결정
$\sin, \cos, \tan$ — 직각삼각형의 한 예각만 정해지면 세 가지 비율이 모두 결정된다. 그리고 그 비율들은 삼각형의 크기에 무관 — 닮음이기 때문. 다음 차시에서는 특수한 세 각($30°, 45°, 60°$)의 삼각비 값을 외운다.