"꼭짓점이 곧 답이다 — 모든 '가장'은 그곳에 있다."
6단계의 미션을 통해 이차함수 활용의 모든 영역을 정복하라. 그래프 분석에서 시작해, 조건으로부터 식을 만들고, 최댓값과 최솟값을 구해 실생활에 적용하는 여정.
- 각 단계에서 풀이를 단계별로 작성한다.
- 최댓값·최솟값 문제는 항상 꼭짓점에서 결판난다.
- 마지막 단계는 자신의 학습을 솔직하게 평가한다.
Stage · 01
그래프 분석 마스터
절편·꼭짓점·$x$ 축 관계
Ⅰ이차함수의 그래프 읽기
$y$ 절편·$x$ 절편·꼭짓점·$x$ 축과의 관계를 모두 분석한다.
세 문제를 풀이하라.
- ① $y = x^2 - 4x - 5$ 의 (a) $y$ 절편, (b) $x$ 절편을 모두 구하라.
- ② $y = x^2 + 2x + 3$ 의 그래프와 $x$ 축의 관계를 판별식으로 판단하라.
- ③ $y = (x-1)^2 - 9$ 의 꼭짓점과 $x$ 절편을 모두 구하라.
팁 — $x$ 절편은 $y = 0$ 인 점 = 이차방정식의 해.
Stage · 02
식 결정 마스터
조건 → 식의 세 가지 형태
Ⅱ조건으로부터 이차함수 만들기
꼭짓점형·인수형·일반형 — 조건에 맞는 형태를 골라 식을 만든다.
세 문제를 풀이하라.
- ① 꼭짓점 $(2, -1)$, 점 $(4, 3)$ 을 지나는 이차함수의 식을 꼭짓점형으로.
- ② $x$ 절편 $-2, 4$, 점 $(0, 8)$ 을 지나는 이차함수의 식을 인수형으로.
- ③ 세 점 $(0, 2), (1, 1), (-1, 5)$ 를 지나는 이차함수의 식을 일반형으로.
전략 — 조건에 맞는 형태를 고르면 미지수가 1~2개로 줄어든다.
Stage · 03
최댓값·최솟값 마스터
꼭짓점이 곧 극값
Ⅲ표준형 변환으로 극값 찾기
$a$ 의 부호로 최대인지 최소인지 판단하고, 꼭짓점에서 극값을 읽는다.
세 문제를 풀이하라.
- ① $y = x^2 + 6x + 11$ 의 최솟값을 구하라.
- ② $y = -2x^2 + 8x - 3$ 의 최댓값을 구하라.
- ③ $y = x^2 - 4x + 5$, $0 \leq x \leq 3$ 범위에서의 최댓값과 최솟값을 모두 구하라.
제한 범위에서는 — 꼭짓점이 범위 안에 있는지 확인 후 양 끝점과 비교.
Stage · 04
운동 활용 마스터
자유낙하·최고점
Ⅳ물체 운동의 최고점
$h = -5t^2 + v_0 t + h_0$ 모델로 운동의 최고 높이와 도달 시간을 분석한다.
세 문제를 풀이하라.
- ① 지면에서 $40$ m/s 로 위로 던진 공의 최고 높이와 도달 시간을 구하라.
- ② 높이 $20$ m 절벽에서 $10$ m/s 로 위로 던진 공의 최고 높이를 구하라.
- ③ ①번 공이 땅에 닿는 시간도 함께 구하라.
$a=-5$ 이므로 위로 볼록 → 꼭짓점이 최고점.
Stage · 05
면적·곱 최대 마스터
기하·산술의 최적화
Ⅴ가장 큰 면적, 가장 큰 곱
둘레 일정 → 정사각형이 최대 면적, 합 일정 → 균등이 최대 곱.
세 문제를 풀이하라.
- ① 둘레가 $40$ m 인 직사각형 모양 정원의 최대 면적을 구하라.
- ② 두 수의 합이 $24$ 일 때 곱의 최댓값을 구하라.
- ③ 가로 $x$, 세로 $(30-2x)$ 인 직사각형 화단의 최대 면적을 구하라.
"가장 ~한" 질문은 모두 꼭짓점 찾기 문제로 환원된다.
Stage · 06
자기 평가 보고서
Self-Assessment Report
Ⅵ학습 되돌아보기
자신의 강점과 약점을 진단하고, 대단원 평가로 넘어갈 준비를 한다.
다음 네 가지 항목을 자유롭게 서술하라.
- ① 5가지 영역(그래프 분석·식 결정·최대최소·운동·면적과 곱) 중 가장 자신 있는 것과 그 이유
- ② 가장 어려웠던 영역과 어려웠던 이유
- ③ "꼭짓점이 곧 극값"이라는 통찰을 자신의 말로 한 문장 설명
- ④ 둘레가 일정할 때 정사각형이 최대 면적인 이유를 직관적으로 설명
정직한 자기 평가가 대단원 평가에서 더 좋은 결과로 이어진다.
Stage 1~3
45
그래프 분석·식 결정·최대최소의 정확한 풀이.
Stage 4~5
40
운동과 면적·곱의 실생활 모델링.
Stage 6
15
자기 학습 진단과 통찰.
모든 단계를 완료했다면, 제출하라.
제출 시 각 단계의 작성 상태가 자동으로 점검된다.