Lesson 2.1

그래프의 성질과 그리기

Properties and Drawing of Quadratic Graphs

이차함수의 그래프는 꼭짓점·축·절편이라는 다섯 가지 점만 알면 정확히 그릴 수 있다. 그리고 그래프와 $x$ 축이 만나는 곳은 — 바로 이차방정식의 해. Ⅲ단원과 Ⅳ단원이 한 그래프 위에서 만난다.

Hook · 도입
"$y = x^2 - 4x + 3$ 의 그래프와 $x$ 축이 만나는 점은?"

그래프와 $x$ 축이 만나는 곳에서 $y = 0$. 즉 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 을 풀면 된다. $(x-1)(x-3) = 0$ → $x = 1$ 또는 $x = 3$. 이차방정식과 이차함수가 한 그래프 위에서 통합되는 순간.

(1,0) (3,0) 꼭짓점 (2,−1) (0, 3)
Core · 절편

$y$ 절편과 $x$ 절편

Two Kinds of Intercepts

①$y$ 절편 — 그래프가 $y$ 축과 만나는 점

$y$ 절편 = 그래프 위의 점 중 $x = 0$ 인 점 → 식에 $x = 0$ 대입

일반형 $y = ax^2 + bx + c$ 에서 $x = 0$ 대입하면 $y = c$. 그래서 $y$ 절편은 항상 $c$.

  • 예) $y = x^2 - 4x + 3$ → $y$ 절편 (0, 3)
  • 예) $y = -2x^2 + 5x - 7$ → $y$ 절편 (0, −7)

②$x$ 절편 — 그래프가 $x$ 축과 만나는 점

$x$ 절편 = 그래프 위의 점 중 $y = 0$ 인 점 → $ax^2 + bx + c = 0$ 의 해

즉, $x$ 절편을 구하는 것이 곧 이차방정식을 푸는 것. Ⅲ단원의 모든 풀이법(인수분해·완전제곱식·근의 공식)을 그대로 적용.

  • 예) $y = x^2 - 4x + 3$ → $(x-1)(x-3)=0$ → $x$ 절편 (1, 0), (3, 0)
  • 예) $y = x^2 - 6x + 9$ → $(x-3)^2 = 0$ → $x$ 절편 (3, 0) (한 점에서 접함 — 중근)
Core · x축과의 관계

그래프와 $x$ 축의 세 가지 관계

Three Cases — Determined by the Discriminant

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 판별식 $D = b^2 - 4ac$ 가 그래프와 $x$ 축의 만남을 결정한다. (Ⅲ-2.1과 같은 D.)

D > 0
두 점에서 만남

서로 다른 두 $x$ 절편

이차방정식 해가 두 개 → 그래프가 $x$ 축을 가로질러 두 점을 만든다.

D = 0
한 점에서 접함

중근 — 그래프가 축에 접함

꼭짓점이 정확히 $x$ 축 위에 — 접하기만 하고 가로지르지 않는다.

D < 0
만나지 않음

$x$ 축과 교점 없음

이차방정식이 실근 없음 → 그래프가 $x$ 축 위(또는 아래)에 완전히 떨어져 있음.

핵심 통찰. Ⅲ단원의 판별식이 Ⅳ단원의 그래프에서 시각적으로 드러난다. 같은 $D$ 가 두 단원에서 같은 의미.
Method · 그리기

그래프 그리기 5단계

Five-Step Drawing Procedure

$y = x^2 - 4x + 3$ 의 그래프 그리기

1
꼭짓점 찾기

표준형으로 변환 → 꼭짓점 좌표 확인.

$y = (x-2)^2 - 1$ → 꼭짓점 (2, −1)
2
대칭축 그리기

꼭짓점을 지나는 수직선 — 보조선으로 표시.

대칭축 $x = 2$
3
$y$ 절편 찍기

$x = 0$ 대입 → $c = 3$ → 점 (0, 3).

4
$x$ 절편 찍기

이차방정식 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 풀기 → $(x-1)(x-3) = 0$ → 점 (1, 0), (3, 0).

5
매끄럽게 곡선 연결

네 점을 잇는 포물선 — 좌우 대칭, 아래로 볼록 ($a = 1 > 0$).

x y x=2 꼭짓점 (2,−1) (1, 0) (3, 0) (0, 3)
Core · 증감

증가·감소 영역

Increasing and Decreasing Regions

대칭축을 기준으로 좌·우

이차함수의 증가·감소는 대칭축 $x = p$ 를 기준으로 좌·우가 반대.
$a$ 의 부호$x < p$ (대칭축 왼쪽)$x > p$ (대칭축 오른쪽)
$a > 0$ (아래로 볼록)감소증가
$a < 0$ (위로 볼록)증가감소

예) $y = x^2 - 4x + 3$ → 꼭짓점 $x = 2$, $a = 1 > 0$
→ $x < 2$ : 감소,   $x > 2$ : 증가. 꼭짓점에서 방향이 바뀐다.

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions
Q1. $y = x^2 - 5x + 6$ 의 $y$ 절편의 $y$ 좌표는?
Q2. $y = x^2 - 4$ 의 $x$ 절편을 모두 적어라. (예: 2,-2)
Q3. $y = (x-1)^2 + 3$ 의 그래프와 $x$ 축의 교점의 개수는?
Q4. $y = x^2 - 2x - 3$ 의 $x$ 절편을 모두 적어라.
Q5. $y = x^2 - 2x + 1$ 의 그래프와 $x$ 축의 관계는? (두 점에서 만남 / 접함 / 만나지 않음)
Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples
예제 1

$y = x^2 + 2x - 8$ 의 (1) 꼭짓점, (2) $y$ 절편, (3) $x$ 절편을 모두 구하라.

표준형 변환 + 이차방정식 풀이.
  1. 꼭짓점 — $y = (x^2+2x+1) - 1 - 8 = (x+1)^2 - 9$ → $(-1, -9)$
  2. $y$ 절편 — $x = 0$ 대입 → $y = -8$ → (0, -8)
  3. $x$ 절편 — $x^2 + 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-2) = 0 \Rightarrow x = -4, 2$ → (-4, 0), (2, 0)
예제 2

$y = x^2 - 6x + 11$ 의 그래프는 $x$ 축과 어떤 관계인가?

판별식 $D$ 의 부호로 결정.
  1. $a = 1, b = -6, c = 11$
  2. $D = b^2 - 4ac = 36 - 44 = -8$
  3. $D < 0$ → 그래프와 $x$ 축이 만나지 않는다 (실근 없음)
  4. 대안 확인 — 꼭짓점이 $(3, 2)$, 아래로 볼록 → 그래프 전체가 $y > 0$ → $x$ 축 위에 떠 있음 ✓
Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems
01★

$y = x^2 - 6x + 8$ 의 $x$ 절편을 모두 적어라.

02★

$y = x^2 + 2x - 3$ 의 $y$ 절편의 $y$ 좌표는?

03★

$y = (x-3)^2 - 4$ 의 $x$ 절편을 모두 적어라.

04★★

$y = x^2 - 5x + 6$ 의 그래프의 대칭축은 $x = ?$ (예: 5/2)

05★★

$y = (x-2)^2 - 9$ 의 $x$ 절편을 모두 적어라.

06★★

$y = -(x-1)^2 + 4$ 의 $x$ 절편을 모두 적어라.

07★★★

$y = x^2 - 4x$ 의 그래프와 $x$ 축의 관계는? (두 점에서 만남 / 접함 / 만나지 않음)

08★★★

$y = x^2 - 6x + 9$ 의 그래프와 $x$ 축의 관계는?

두 단원이 한 그래프에서 만난다

이차함수의 $x$ 절편은 이차방정식의 해. Ⅲ단원의 판별식 $D$ 가 Ⅳ단원의 그래프 모양을 그대로 결정한다. 다음 차시에서는 거꾸로 — 그래프의 조건에서 이차함수의 식을 결정하는 법을 배운다.

"$x$ intercepts of a parabola are roots of the equation."