식만 보고 즉시 답하기는 어렵다. 그러나 완전제곱식으로 변형하면 — $y = (x - 3)^2 - 4$ — 꼭짓점이 한눈에 $(3, -4)$ 임을 알 수 있다. 이것이 일반형을 표준형으로 바꾸는 이유.
일반형이란
$y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$)
이 형태에서 식만 보고 즉시 알 수 있는 것 :
- $a$ 의 부호 → 볼록 방향 ($a>0$ 아래로 / $a<0$ 위로)
- $|a|$ → 그래프의 폭
- $c$ → $y$ 절편 (즉 그래프와 $y$ 축의 교점은 $(0, c)$)
- 꼭짓점·대칭축 → 직접 보이지 않음. 변환 필요!
변환 1 — $x^2$ 의 계수가 1인 경우
예제 — $y = x^2 - 6x + 5$ 의 변환
완전제곱식 만들기 (Ⅲ-1.3 에서 배운 기법) — "절반의 제곱"을 더하고 빼는 방법.
변환 2 — $x^2$ 의 계수가 1이 아닌 경우
핵심 — $x^2$ 항과 $x$ 항만 $a$ 로 묶는다
$a$ 가 1이 아니면, 먼저 $x^2$ 의 계수가 1이 되도록 $a$ 로 묶는다. 단 상수항 $c$ 는 그대로 둔다.
이렇게 묶은 뒤 괄호 안에서 완전제곱식 변형을 진행. 괄호 밖으로 빼낼 때는 $a$ 곱을 잊지 말 것.
예제 — $y = 2x^2 + 8x + 3$ 의 변환
일반 공식 (참고용)
유도와 활용
일반형 → 표준형 변환을 일반 변수로 수행하면 위 공식을 얻는다. 외워서 쓰면 빠르지만, 완전제곱식 과정을 직접 수행할 줄 아는 것이 더 중요하다.
꼭짓점 $x = -\dfrac{-6}{2\cdot 1} = 3$, $y = 5 - \dfrac{36}{4} = 5 - 9 = -4$
→ 꼭짓점 $(3, -4)$ ✓
가장 자주 하는 실수 3가지
상수항 $c$ 는 묶지 않는다
$a$ 로 묶는 것은 $x^2, x$ 항만. 상수항 $c$ 는 괄호 밖에 그대로 둔다.
괄호 안 $-k$ 를 밖으로 옮길 때 $a$ 를 곱해야 함
괄호 안 $-4$ 가 밖으로 나올 때 $a = 2$ 가 곱해져 $-8$ 이 됨.
완전제곱 만드는 항을 더하기만 함
완전제곱식을 만들려고 더한 만큼 반드시 같은 양을 뺀다 — 식의 값은 변하지 않아야 한다.
일반형 → 표준형 변환기
$a, b, c$ 를 입력하면 단계별 변환 과정과 꼭짓점·대칭축이 자동 출력된다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$y = x^2 + 4x - 1$ 을 표준형으로 변환하고 꼭짓점·대칭축을 구하라.
- $y = (x^2 + 4x) - 1$ — $x$ 항만 묶기
- $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ 더하고 빼기 → $y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1$
- 완전제곱식 정리 → $y = (x + 2)^2 - 5$
- 꼭짓점 → $(-2, -5)$, 대칭축 → $x = -2$
$y = -2x^2 + 4x + 1$ 을 표준형으로 변환하라.
- $y = -2(x^2 - 2x) + 1$ — $a=-2$ 로 묶기 (괄호 안 부호 반대)
- $\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2 = 1$ 더하고 빼기 → $y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$
- 괄호 밖으로 빼낼 때 $-2$ 곱하기 → $y = -2(x^2 - 2x + 1) + (-2)\cdot(-1) + 1$
- $= -2(x - 1)^2 + 2 + 1$
- $= -2(x - 1)^2 + 3$
- 꼭짓점 → $(1, 3)$, 위로 볼록 → 최댓값 $3$
난이도별 연습 8문제
$y = x^2 - 4x + 3$ 을 표준형 $a(x-p)^2+q$ 의 우변으로 적어라. (예: (x-2)^2-1)
$y = x^2 + 6x + 5$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = x^2 - 8x + 17$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = 2x^2 + 8x + 5$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = -x^2 + 2x + 3$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = x^2 - 4x + 7$ 의 최솟값을 구하라.
$y = -x^2 + 6x - 5$ 의 최댓값을 구하라.
$y = 2x^2 - 12x + 13$ 의 꼭짓점의 좌표는?
두 형태, 같은 함수
일반형 $y = ax^2+bx+c$ 와 표준형 $y = a(x-p)^2+q$ 는 같은 함수의 두 표현. 완전제곱식 변형으로 두 형태 사이를 자유롭게 오갈 수 있게 되었다 — 일반형으로 받은 식을 표준형으로 바꿔 꼭짓점을 즉시 읽는 능력. Ⅳ-1 마무리 후 Ⅳ-2 활용 단원으로 진입한다.