1.3 표준형 y=a(x-p)²+q | 중학교 3학년 수학

Vertex Form (표준형 · 정점형)

$y = a(x - p)^2 + q$

볼록 방향 + 폭

꼭짓점 $x$ 좌표 (오른쪽 이동)

꼭짓점 $y$ 좌표 (위로 이동)

— "한 줄의 식, 한 줄의 모든 정보."

Hook · 도입

"$y = x^2$ 의 그래프를 오른쪽으로 2, 위로 3 옮기면?"

두 평행이동을 동시에 적용한다 — 가로로 $p = 2$, 세로로 $q = 3$. 결과는 $y = (x - 2)^2 + 3$. 꼭짓점은 원점 $(0, 0)$ 에서 $(2, 3)$ 으로 이동.

Core · 5성질

$y = a(x-p)^2 + q$ 의 5가지 성질

Five Properties

한 줄의 식에서 즉시 읽어내는 5가지

성질	$y = a(x-p)^2 + q$
꼭짓점	$(p, q)$ — $x$ 좌표는 $p$, $y$ 좌표는 $q$
대칭축	직선 $x = p$
볼록 방향	$a > 0$ : 아래로 볼록 (위로 열림) / $a < 0$ : 위로 볼록 (아래로 열림)
모양 (폭)	$\|a\|$ 가 클수록 좁고 가파름
최대·최소값	꼭짓점에서 — $a>0$ 이면 최솟값 $q$, $a<0$ 이면 최댓값 $q$

핵심. 표준형은 그래프의 모든 정보를 식 안에 그대로 담는다. $(x - p)^2$ 의 $p$ 만 부호를 거꾸로 읽으면 된다 (즉 $(x-2)^2$ 면 $p=2$, $(x+5)^2$ 면 $p=-5$).

예시 — $y = 2(x - 3)^2 + 5$

꼭짓점 $(3, 5)$
대칭축 $x = 3$
볼록 방향 $a = 2 > 0$ → 아래로 볼록
모양 $|a| = 2$ → $y=x^2$ 보다 좁다
최솟값 $q = 5$ (꼭짓점에서)

Method · 그래프 그리기

표준형 그래프 4단계 그리기

Four-Step Drawing Procedure

$y = 2(x - 1)^2 - 3$ 예시

꼭짓점 찍기

식에서 $p, q$ 읽기 → 꼭짓점 표시.

꼭짓점 (1, −3)

대칭축 그리기

꼭짓점을 지나는 수직선.

$x = 1$

볼록 방향과 폭 결정

$a$ 의 부호와 크기로 모양 결정.

$a = 2 > 0$ → 아래로 볼록, $y=x^2$ 보다 좁음

한두 점 더 찍기

그래프의 폭을 정확히 그리려면 $x = p \pm 1$ 같은 값 대입.

$x = 0$ : $y = 2(0-1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1$ → $(0, -1)$

Apply · 식 결정

표준형으로 이차함수의 식 결정

Determining the Function

꼭짓점과 한 점을 알 때

꼭짓점이 $(p, q)$ → $y = a(x-p)^2 + q$ 로 식 형태 결정
한 점을 대입해 $a$ 의 값을 구한다.

예) 꼭짓점이 $(2, 3)$, 점 $(4, 11)$ 을 지나는 이차함수의 식?

꼭짓점 대입 → 식 형태

$y = a(x - 2)^2 + 3$

한 점 대입 → $a$ 결정

$11 = a(4-2)^2 + 3 = 4a + 3 \Rightarrow a = 2$

완성된 식

$y = 2(x - 2)^2 + 3$

Pitfalls · 주의

가장 자주 하는 실수 3가지

Three Common Pitfalls

실수 01 · $p$ 부호 혼동

$(x + 4)^2$ 에서 $p$ 의 부호

잘못 : $y = (x+4)^2 + 1$ → 꼭짓점 (4, 1)

옳음 : $(x+4)^2 = (x-(-4))^2$ → 꼭짓점 (−4, 1)

$(x - p)^2$ 의 표준 꼴에서 $p$ 의 부호를 정확히 식별. 식에 "+"가 있으면 실제 $p$ 는 음수.

실수 02 · 최대·최소 부호

$a$ 의 부호에 따라 최대 또는 최소

잘못 : $y = -(x-2)^2 + 5$ 의 최솟값 5

옳음 : $a=-1<0$ → 위로 볼록 → 최댓값 5 (최솟값 없음)

$a>0$ : 꼭짓점이 최저점 (최솟값). $a<0$ : 꼭짓점이 최고점 (최댓값).

실수 03 · 식 결정에서 꼭짓점 형태 미사용

꼭짓점이 주어졌을 때 표준형을 활용하지 않음

잘못 : 꼭짓점 $(2, 3)$ 주어짐 → $y = ax^2 + bx + c$ 로 시작

옳음 : $y = a(x-2)^2 + 3$ 으로 시작 → $a$ 만 구하면 끝

꼭짓점이 주어지면 즉시 표준형을 쓰는 것이 훨씬 효율적. 한 점을 더 알면 $a$ 가 결정됨.

Interactive · 실험실

표준형 그래프 시뮬레이터

$y = a(x-p)^2 + q$ Live Graph

$a, p, q$ 를 모두 조절하며 그래프와 꼭짓점의 변화를 관찰하라.

a = 1 p = 0 q = 0

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions

Q1. $y = (x-2)^2 + 3$ 의 꼭짓점의 좌표는?

Q2. $y = -(x+1)^2 + 5$ 의 꼭짓점의 좌표는?

Q3. $y = 2(x-3)^2 + 1$ 의 대칭축은?

Q4. $y = -(x-2)^2 + 7$ 의 최댓값을 구하라.

Q5. $y = 3(x+4)^2 - 6$ 의 최솟값을 구하라.

Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples

예제 1

$y = 2(x - 1)^2 + 3$ 의 (1) 꼭짓점, (2) 대칭축, (3) 볼록 방향, (4) 최대·최솟값, (5) $y$ 축과의 교점을 모두 구하라.

표준형 5가지 성질 + $y$ 축 교점.

꼭짓점 → $(1, 3)$
대칭축 → $x = 1$
$a = 2 > 0$ → 아래로 볼록
아래로 볼록 → 꼭짓점에서 최솟값 $3$, 최댓값 없음
$y$ 축 교점 ($x = 0$ 대입) : $y = 2(0-1)^2 + 3 = 2 + 3 = 5$ → $(0, 5)$

예제 2

꼭짓점이 $(-2, 5)$ 이고 점 $(0, 1)$ 을 지나는 이차함수의 식을 표준형으로 구하라.

꼭짓점으로 형태 → 한 점으로 $a$ 결정.

꼭짓점이 $(-2, 5)$ → $y = a(x - (-2))^2 + 5 = a(x + 2)^2 + 5$
점 $(0, 1)$ 대입 → $1 = a(0 + 2)^2 + 5 = 4a + 5$
$4a = -4 \;\Rightarrow\; a = -1$
결과 → $y = -(x + 2)^2 + 5$
검증 : $x = 0$ 대입 시 $-(0+2)^2 + 5 = -4 + 5 = 1$ ✓

Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems

01★

$y = (x-1)^2 + 2$ 의 꼭짓점의 좌표는?

02★

$y = 3(x+2)^2 - 1$ 의 꼭짓점의 좌표는?

03★

$y = -2(x-3)^2 + 4$ 의 꼭짓점의 좌표는?

04★★

$y = (x+5)^2 - 3$ 의 대칭축은?

05★★

$y = -(x-1)^2 + 8$ 의 최댓값을 구하라.

06★★

$y = 2(x+3)^2 - 7$ 의 최솟값을 구하라.

07★★★

꼭짓점이 $(3, 1)$ 이고 점 $(5, 9)$ 를 지나는 이차함수의 식을 표준형으로 구하라. (예: y=2(x-3)^2+1)

08★★★

꼭짓점이 $(-1, 4)$ 이고 점 $(1, 0)$ 을 지나는 이차함수의 식을 표준형으로 구하라.

한 줄의 식, 한 줄의 모든 정보

$y = a(x-p)^2 + q$ — 이 식에는 꼭짓점·축·볼록·최대·최소 모두가 담겨 있다. "표준형" 또는 "정점형"이라 부르는 이유 — 모든 정보가 한 줄로 정렬되기 때문. 다음 차시에서는 흩어진 형태인 일반형 $y = ax^2 + bx + c$ 를 표준형으로 변환하는 법을 배운다.

"The vertex form is where the parabola tells its full story."

$y = a(x-p)^2 + q$ — 표준형(정점형)