$y = x^2$ 위의 모든 점의 $y$ 좌표에 3을 더하면 $y = x^2 + 3$ 의 그래프가 된다. 그렇다면 옆으로 옮기는 것은 — 어떻게 표현할까?
$y = ax^2 + q$ — 위·아래 평행이동
1$y$ 축 방향으로 $q$ 만큼 평행이동
$q > 0$ : 위로, $q < 0$ : 아래로
모든 점의 $y$ 좌표에 $q$ 가 더해진 것이므로, 모양은 그대로, 위치만 위아래로 움직인다.
| 성질 | $y = ax^2 + q$ |
|---|---|
| 꼭짓점 | $(0, q)$ |
| 대칭축 | $y$ 축 (즉 $x = 0$) — 변함 없음 |
| 볼록 방향 | $a$ 의 부호에 따름 ($a>0$ 아래로 볼록 / $a<0$ 위로 볼록) |
| 최대·최소 | 꼭짓점에서 최대 또는 최소, 값은 $q$ |
2예시 — 그래프로 확인
$y = x^2$ 를 기준(점선)으로 — 위로 2 이동하면 꼭짓점 $(0, 2)$, 아래로 3 이동하면 꼭짓점 $(0, -3)$.
$y = a(x-p)^2$ — 좌·우 평행이동
1$x$ 축 방향으로 $p$ 만큼 평행이동
$p > 0$ : 오른쪽, $p < 0$ : 왼쪽
| 성질 | $y = a(x-p)^2$ |
|---|---|
| 꼭짓점 | $(p, 0)$ |
| 대칭축 | $x = p$ (수직선) |
| 볼록 방향 | $a$ 의 부호에 따름 |
| 최대·최소 | 꼭짓점에서 최대 또는 최소, 값은 $0$ |
2왜 $(x - p)$ 인가 — 직관
$y = (x - 3)^2$ 의 꼭짓점은 $(3, 0)$. 그곳에서 $y = 0$ 인 이유는 — $x = 3$ 을 대입하면 $(3 - 3)^2 = 0$ 이기 때문. 즉 "$y = 0$ 이 되는 $x$" 가 $p$ 라는 사실. 그래서 그래프 전체가 오른쪽으로 $p$ 만큼 옮겨진 셈.
3예시 — 그래프로 확인
$y = (x-2)^2$ → 오른쪽으로 2 이동 (꼭짓점 $(2, 0)$). $y = (x+3)^2 = (x - (-3))^2$ → 왼쪽으로 3 이동 (꼭짓점 $(-3, 0)$).
두 형태의 비교
위·아래 평행이동
꼭짓점 : $(0, q)$
대칭축 : $y$ 축 ($x = 0$)
직관 : $y$ 값에 $q$ 더하기
좌·우 평행이동
꼭짓점 : $(p, 0)$
대칭축 : $x = p$
직관 : "$y=0$ 이 되는 $x$" = $p$
가장 자주 하는 실수 3가지
$(x + 2)^2$ 은 왼쪽으로 2 이동
표준은 $(x-p)$ 꼴. 식에 +가 보이면 실제로는 $p$ 가 음수 — 즉 왼쪽 이동.
$y = (x-3)^2$ 꼭짓점
$(x-p)^2$ 꼴이면 꼭짓점 $x$ 좌표는 그대로 $p$. 즉 $(x-3)^2$ 의 꼭짓점은 $(3, 0)$.
대칭축은 "직선"이지 "값"이 아니다
대칭축은 직선의 방정식으로 적는다 — $y$ 축, $x = p$, 또는 $x = 0$ 등.
평행이동 시뮬레이터
형태와 $a, p, q$ 값을 조절해 그래프 변화를 관찰하라.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$y = -2x^2 + 5$ 의 그래프의 (1) 꼭짓점, (2) 대칭축, (3) 볼록 방향, (4) 최댓·최솟값을 구하라.
- 꼭짓점 → $y$ 좌표가 $q = 5$, $x$ 좌표는 0 → $(0, 5)$
- 대칭축 → $y$ 축, 즉 $x = 0$
- $a = -2 < 0$ → 위로 볼록
- 위로 볼록 → 꼭짓점에서 최댓값 $5$, 최솟값 없음
$y = 3(x+1)^2$ 의 그래프의 (1) 꼭짓점, (2) 대칭축, (3) $y$ 축과의 교점을 구하라.
- 꼭짓점 → $(-1, 0)$
- 대칭축 → $x = -1$
- $y$ 축과의 교점 : $x = 0$ 대입 → $y = 3(0+1)^2 = 3$ → $(0, 3)$
난이도별 연습 8문제
$y = x^2 + 5$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = -3x^2 - 2$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = (x-2)^2$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = -2(x+5)^2$ 의 꼭짓점의 좌표는?
$y = 4(x-3)^2$ 의 대칭축의 방정식은?
$y = x^2 - 4$ 의 최솟값을 구하라.
$y = -x^2 + 7$ 의 최댓값을 구하라.
$y = (x-3)^2$ 의 그래프와 $y$ 축의 교점의 좌표는? (예: (0,9))
평행이동 — 모양은 그대로, 위치만 옮긴다
$y = ax^2 + q$ 는 $y$ 축 방향으로 $q$ 만큼, $y = a(x-p)^2$ 는 $x$ 축 방향으로 $p$ 만큼 이동. 직관에 맞는 위·아래와, 부호가 거꾸로 보이는 좌·우. 다음 차시에서는 두 이동을 결합한 표준형 $y = a(x-p)^2 + q$ 를 만난다.