두 수를 곱했을 때 결과가 0이 되려면 — 둘 중 적어도 하나가 0이어야 한다. $2 \cdot 0 = 0$, $0 \cdot 5 = 0$. 이 단순한 사실이 모든 인수분해 풀이의 핵심이다.
풀이의 핵심 원리
1. 영곱 성질 (AB = 0)
이 성질은 두 인수 모두 0이 아닐 수 없음을 말한다. 적어도 하나는 반드시 0이어야 한다.
2. 이차방정식에의 적용
좌변이 두 인수의 곱으로 표현되면, 각 인수 = 0인 $x$ 가 곧 해.
4단계 풀이 절차
$ax^2 + bx + c = 0$ 꼴로 정리. 우변은 반드시 0.
Ⅱ-2에서 익힌 5가지 공식 활용 — 공통인수, 완전제곱식, 차의 제곱, 두 일차식.
영곱 성질 적용 — 두 인수 중 적어도 하나가 0이어야 한다.
두 해를 모두 적는다.
중근 — 두 해가 같을 때
완전제곱식 형태에서 등장
$(x-3)^2 = 0$ 같은 식은 $(x-3)(x-3) = 0$ 이므로, 두 인수 모두 같은 식. 해는 단 하나 — $x = 3$ 이지만, "중근(같은 해가 두 개)"이라 부른다.
중근의 예시들
- $x^2 - 4x + 4 = 0$ → $(x-2)^2 = 0$ → 중근 $x = 2$
- $x^2 + 10x + 25 = 0$ → $(x+5)^2 = 0$ → 중근 $x = -5$
- $4x^2 - 12x + 9 = 0$ → $(2x-3)^2 = 0$ → 중근 $x = \dfrac{3}{2}$
가장 자주 하는 실수 3가지
$x^2 = 3x$ 의 양변을 $x$ 로 나누면 안 된다
$x = 0$ 일 가능성을 미리 배제하면 안 된다. 항상 좌변으로 모은 뒤 인수분해.
$(x-2)(x-3) = 6$ 에서 $x-2=6$ 이라 풀면 안 됨
영곱 성질은 곱이 반드시 0일 때만 성립. 다른 값일 때는 일반형으로 정리부터.
인수분해 결과에서 한쪽만 답으로 쓰는 경우
이차방정식은 일반적으로 두 해를 갖는다. 빠뜨림 없이 모두 적는 습관.
인수분해 풀이 시뮬레이터
$x^2 + bx + c = 0$ 의 $b, c$ 를 입력하면 풀이 과정이 자동 출력된다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$2x^2 + 5x - 3 = 0$ 의 해를 구하라.
- $2x^2 + 5x - 3$ 을 인수분해 — $(2x-1)(x+3)$ 시도
- 검산: $2x \cdot 3 + (-1) \cdot x = 6x - x = 5x$ ✓
- $(2x-1)(x+3) = 0$ → 영곱 성질 → $2x-1=0$ 또는 $x+3=0$
- 각 풀이 → $x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $x = -3$
$x(x-3) = 4$ 의 해를 구하라.
- 우변 이항 → $x^2 - 3x - 4 = 0$
- 인수분해 — 합 $-3$, 곱 $-4$ 인 두 수 = $-4, 1$ → $(x-4)(x+1) = 0$
- 영곱 성질 → $x = 4$ 또는 $x = -1$
- 검증: $4 \cdot 1 = 4$ ✓, $(-1)(-4) = 4$ ✓
- 결과 → $x = 4$ 또는 $x = -1$
난이도별 연습 8문제
$(x-1)(x-4)=0$ 의 해를 구하라.
$x^2 - 7x = 0$ 의 해를 구하라.
$x^2 - 7x + 10 = 0$ 의 해를 구하라.
$x^2 - x - 12 = 0$ 의 해를 구하라.
$x^2 - 10x + 25 = 0$ 의 해를 구하라. (중근)
$2x^2 + 5x - 3 = 0$ 의 해를 구하라.
$x(x-3) = 4$ 의 해를 구하라.
$(x-1)(x-4) = -2$ 의 해를 구하라. [힌트: 전개 후 정리]
인수분해 풀이 — 가장 빠른 길
인수분해가 가능한 이차방정식은 이 방법이 가장 빠르고 가장 정확하다. 일반형으로 정리 → 인수분해 → 영곱 성질 → 두 해. 그러나 모든 이차방정식이 깔끔하게 인수분해되지는 않는다. 다음 차시에서 완전제곱식 풀이로 이 한계를 극복한다.