한 수를 $x$ 라 하면 다른 수는 $7-x$. 두 수의 곱은 $x(7-x) = 12$. 풀면 $-x^2 + 7x = 12$, 즉 $x^2 - 7x + 12 = 0$ — 정확히 이차방정식이다. 이 문제가 우리가 다룰 모든 이차방정식의 원형이다.
이 방정식의 해는 두 수: $x = 3$ 또는 $x = 4$
검증: $3 \times 4 = 12$ ✓, $3 + 4 = 7$ ✓
이차방정식의 정의
1. 이차방정식이란
좌변이 $x$ 에 관한 이차식이고, 등식이 0과 같은 형태로 정리된 방정식.
2. 일반형으로 정리하기
처음 식이 $3x^2 + 5 = 7x + 2$ 처럼 양변에 항이 흩어져 있을 수 있다. 이때는 모두 한쪽으로 모아 $0$ 과 같다는 꼴로 정리한다.
이렇게 우변을 $0$ 으로 만들고 차수가 높은 항부터 정렬한 꼴을 이차방정식의 일반형(표준형)이라 한다.
이차식 · 이차방정식 · 이차함수의 구분
| 구분 | 모양 | 본질 | 예시 |
|---|---|---|---|
| 이차식 | 등식이 없는 식 | "수가 아니라 형태" — 변수의 값에 따라 값이 변하는 표현. | $x^2 - 3x + 2$ |
| 이차방정식 | $\ldots = 0$ 등식 | "이 식이 0이 되는 $x$ 를 찾으라" — 특정 값을 묻는 질문. | $x^2 - 3x + 2 = 0$ |
| 이차함수 | $y = \ldots$ 의 형태 | $x$ 와 $y$ 의 대응 관계 — 그래프(포물선)로 표현. | $y = x^2 - 3x + 2$ |
이차방정식의 해(근)
1. 해의 정의
이차방정식은 일반적으로 두 개의 해를 갖는다. 두 해가 같을 수도 있고(중근), 실수 범위에서 해가 없을 수도 있다.
2. 해를 확인하는 법 — 대입
특정 수가 해인지 확인하려면, 식에 대입해 좌변이 0이 되는지 본다.
$x^2 - 5x + 6 = 0$ 에서 $x=2$ 대입.
$x=2$ 는 이 방정식의 해.
3. 해의 개수 — 미리 보기
이차방정식의 해는 다음 세 가지 중 하나다:
② 중근(서로 같은 두 해) — 예: $x^2 - 6x + 9 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3$ (중근)
③ 실수 범위에서 근 없음 — 예: $x^2 + 1 = 0$ (해 없음)
해 검증기
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 계수와 확인할 값을 입력하면 해인지 자동 검증한다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$3x^2 + 5 = 7x + 2$ 를 이차방정식의 일반형으로 나타내고, $a, b, c$ 의 값을 구하라.
- 오른쪽 항을 모두 왼쪽으로 이항 → $3x^2 + 5 - 7x - 2 = 0$
- 차수가 높은 항부터 정렬 → $3x^2 - 7x + 3 = 0$
- 이차방정식의 일반형 $ax^2 + bx + c = 0$ 과 비교 → $a = 3, b = -7, c = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$ 의 해를 모두 구하라. (그리고 대입해서 검증)
- $x^2 + 2x - 3$ 을 인수분해 → 합 $2$, 곱 $-3$ 인 두 수 = $3, -1$
- $(x+3)(x-1) = 0$ → 두 인수 중 적어도 하나가 0이어야 한다.
- $x + 3 = 0$ 또는 $x - 1 = 0$ → 해는 $x = -3$ 또는 $x = 1$
- 검증: $x=1$ → $1 + 2 - 3 = 0$ ✓; $x=-3$ → $9 - 6 - 3 = 0$ ✓
난이도별 연습 8문제
$2x^2 - 7x + 3 = 0$ 은 이차방정식인가? (예: 이차방정식 / 아니다)
$3x + 5 = 0$ 은 이차방정식인가?
$x^2 + 2 = 3x$ 를 이차방정식의 일반형으로 정리하라.
$2x^2 + 1 = x + 4$ 를 일반형으로 정리하라.
$x^2 + 3x - 10 = 0$ 에 $x = 2$ 를 대입하면 해인가?
$x^2 - 7x + 12 = 0$ 에 $x = 4$ 를 대입하면 해인가?
$x^2 + ax + 6 = 0$ 의 한 해가 $x=2$ 일 때, $a$ 의 값을 구하라. [힌트: 대입하면 등식이 0]
$x^2 - 3x + k = 0$ 의 한 해가 $x = -1$ 일 때, $k$ 의 값을 구하라.
이차방정식 — 식이 아니라 질문이다
"이 식이 0이 되는 $x$ 는 무엇인가?" — 이차방정식은 답을 찾는 질문이다. 이 질문을 푸는 세 가지 방법(인수분해 → 완전제곱식 → 근의 공식)을 다음 차시부터 차례로 배운다. 같은 산을 세 갈래 길로 오르며, 세 번째 길에 도달하면 모든 이차방정식을 한 줄로 풀게 된다.