세 가지 단서를 확인한다 — ① $x^2$ 와 $9$ 가 모두 제곱수, ② $\sqrt{9}=3$, ③ 중간항 $6x = 2\cdot x\cdot 3$. 세 조건이 모두 맞으면 $(x+3)^2$ 으로 묶을 수 있다.
$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$
$x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$
✓ 위의 셋은 모두 곱셈공식 (1)에서 배운 식의 정확히 거꾸로.
세 개의 인수분해 공식
①완전제곱식 — 합의 제곱
① 첫째 항과 셋째 항이 모두 제곱수이고, 그 값이 양수.
② 중간 항이 $+2 \cdot \sqrt{\text{첫째}} \cdot \sqrt{\text{셋째}}$.
세 조건이 동시에 만족되어야만 완전제곱식.
②완전제곱식 — 차의 제곱
① 동일 ─ 첫째, 셋째 항이 제곱수.
② 중간 항이 $-2 \cdot \sqrt{\text{첫째}} \cdot \sqrt{\text{셋째}}$ — 부호가 음수.
③차의 제곱 ─ 합·차의 곱
① 두 항만 있을 것 (중간항 없음).
② 두 항이 모두 제곱수이고, 한 쪽은 양수, 다른 쪽은 음수.
가장 자주 하는 실수 3가지
$x^2+5x+9$ 를 $(x+3)^2$ 로 잘못 인수분해
첫째·셋째가 제곱수라도, 중간항이 $2\sqrt{a}\sqrt{b}$ 와 일치하지 않으면 완전제곱식이 아니다.
$a^2 + b^2$ 는 인수분해되지 않는다
합·차의 곱은 차의 제곱 $a^2-b^2$ 만 가능. $a^2+b^2$ 는 실수 범위에서는 인수분해 불가능.
차의 제곱에서 부호 혼동
$a^2-b^2$ 는 합·차의 곱으로, $a^2-2ab+b^2$ 는 차의 제곱으로 가는 것. 중간항이 있는지부터 확인.
식 진단기 — 어느 공식인가?
아래 식 중 하나를 선택하면 어떤 공식이 적용되는지 자동 진단한다.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$9x^2 - 24xy + 16y^2$ 을 인수분해하라.
- $\sqrt{9x^2} = 3x$, $\sqrt{16y^2} = 4y$ → $a=3x, b=4y$ 후보
- 중간항 확인: $-2\cdot 3x\cdot 4y = -24xy$ ✓ (음수 부호 일치)
- 따라서 완전제곱식의 차의 꼴 → $(3x-4y)^2$
- 검증: $(3x-4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$ ✓
$16 - 9x^2$ 을 인수분해하라.
- $16 = 4^2$, $9x^2 = (3x)^2$ → 모두 제곱수
- $a^2 - b^2$ 꼴에서 $a=4, b=3x$
- $(a+b)(a-b)$ 적용 → $(4+3x)(4-3x)$
- 주의: $(4-3x)(4+3x)$ 순서는 상관없음. $-9x^2+16$ 도 같은 식이지만 부호를 정렬한 뒤 $16-9x^2$ 처럼 양수 항을 앞에 둔다.
난이도별 연습 8문제
$x^2 + 6x + 9$ 를 인수분해하라.
$x^2 - 14x + 49$ 를 인수분해하라.
$x^2 - 64$ 를 인수분해하라.
$9x^2 + 12x + 4$ 를 인수분해하라.
$16x^2 - 40x + 25$ 를 인수분해하라.
$4x^2 - 25y^2$ 를 인수분해하라.
$(a+b)^2 + 2(a+b) + 1$ 을 인수분해하라. [힌트: $a+b$ 를 한 덩어리로]
$(x+y)^2 - 9$ 를 인수분해하라.
패턴이 보이면 즉시 묶는다
완전제곱식과 차의 제곱 — 두 패턴은 보자마자 알아차려야 한다. 세 항이면 첫째·셋째가 제곱수인지 확인, 두 항이면 부호가 반대인지 확인. 다음 차시에서는 가장 빈번하게 등장하는 두 일차식 형태 인수분해를 다룬다.