1.3 실수의 대소관계 · 제곱근과 실수

HOOK

$\sqrt{2}$와 $1.5$ 중 어느 것이 더 큰가?

Comparing irrationals with rationals — three reliable tools.

$\sqrt{2} = 1.4142\ldots$입니다. 그러면 $\sqrt{2}$와 $1.5$ 중 어느 것이 더 큰가요? 소수점 이하 숫자를 길게 적기 어려우니, 더 우아한 방법이 필요합니다.

실수의 대소를 비교하는 3가지 도구가 있습니다. ① 차의 부호를 보는 방법, ② 제곱으로 비교하는 방법 (양수에 한해), ③ 근사값으로 비교하는 방법.

특히 양수의 제곱근을 비교할 때는 — 근호 안의 수가 클수록 제곱근도 크다는 사실이 가장 강력합니다. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ 같은 무리수의 비교가 한순간에 끝납니다.

$\sqrt{2}$와 $1.5$ 중 큰 쪽은? — 제곱으로 비교

THREE METHODS

대소 비교의 3가지 방법

Each method works best in different situations.

01 METHOD A · 차의 부호

$a - b$의 부호로 비교

두 실수 $a, b$의 차 $a - b$를 계산해 부호를 본다.

$a - b > 0$ ⟹ $a > b$ · $a - b < 0$ ⟹ $a < b$ · $a - b = 0$ ⟹ $a = b$
가장 일반적인 방법

예시: $\sqrt{3}+1$과 $2$ 비교 → 차 $(\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$. $\sqrt{3} > 1$이므로 양수 → $\sqrt{3}+1 > 2$.

02 METHOD B · 제곱 비교 ★

양수일 때 — 제곱으로 비교

$a > 0$, $b > 0$이면 $a$와 $b$의 대소는 $a^2$과 $b^2$의 대소와 같다. 제곱근 비교에 가장 강력.

$a, b > 0$일 때 $a < b$ ⟺ $a^2 < b^2$
특히 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ⟺ $a < b$

예시: $\sqrt{5}$와 $\sqrt{7}$ 비교 → $5 < 7$이므로 $\sqrt{5} < \sqrt{7}$. $\sqrt{2}$와 $1.5$ → $(\sqrt{2})^2 = 2$, $1.5^2 = 2.25$. $2 < 2.25$ → $\sqrt{2} < 1.5$.

03 METHOD C · 근사값

근사값으로 대략 비교

자주 쓰이는 무리수의 근사값을 알고 있으면 빠르게 비교 가능.

$\sqrt{2} \approx 1.414$ · $\sqrt{3} \approx 1.732$ · $\sqrt{5} \approx 2.236$ · $\pi \approx 3.142$

예시: $\sqrt{2}$와 $\sqrt{3}$ 비교 → $1.414 < 1.732$ → $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. (단, 정확한 비교는 METHOD B가 더 안전.)

CAUTION · 주의

음수 비교에서는 방향 반대

음수의 경우 — 절댓값이 클수록 작은 수. $-\sqrt{5}$와 $-\sqrt{6}$ 비교 → $\sqrt{5} < \sqrt{6}$이지만 음수이므로 $-\sqrt{5} > -\sqrt{6}$.

$a, b > 0$이고 $a < b$이면: $-a > -b$
부호 붙이면 방향 반전!

REFERENCE

자주 쓰이는 무리수의 근사값

Memorize these — they speed up many problems.

외워두면 좋은 10가지 근사값

$\sqrt{2}$

1.414

$1 < \sqrt{2} < 2$

$\sqrt{3}$

1.732

$1 < \sqrt{3} < 2$

$\sqrt{5}$

2.236

$2 < \sqrt{5} < 3$

$\sqrt{6}$

2.449

$2 < \sqrt{6} < 3$

$\sqrt{7}$

2.646

$2 < \sqrt{7} < 3$

$\sqrt{8}$

2.828

$= 2\sqrt{2}$

$\sqrt{10}$

3.162

$3 < \sqrt{10} < 4$

$\sqrt{11}$

3.317

$3 < \sqrt{11} < 4$

$\pi$

3.14159

원주율

$\sqrt{15}$

3.873

$3 < \sqrt{15} < 4$

외우는 팁: "$\sqrt{2}$ 두 사람 일사 일사 (1.414)", "$\sqrt{3}$ 세 사람 일떴어 (1.732)" 같은 어구로 기억합니다.

QUICK CHECK

개념 확인 5

Quick checks on comparing real numbers.

Q · 01

$\sqrt{3}$과 $\sqrt{7}$ 중 큰 수는?

풀이: $3 < 7$이므로 $\sqrt{3} < \sqrt{7}$. 큰 쪽은 $\sqrt{7}$.

Q · 02

$\sqrt{9}$와 $3$의 대소관계는?

풀이: $\sqrt{9} = 3$ (정확히 같음). $9$가 제곱수이므로.

Q · 03

양수 $a, b$에 대해 $a < b$이면 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$의 관계는?

풀이: 제곱근은 양수에 대해 같은 방향으로 변함 (단조증가). 따라서 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

Q · 04

$\sqrt{2}$와 $1.5$ 중 큰 수는?

풀이: $(\sqrt{2})^2 = 2$, $1.5^2 = 2.25$. $2 < 2.25$ → $\sqrt{2} < 1.5$.

Q · 05

$-\sqrt{5}$와 $-\sqrt{6}$ 중 큰 수는?

풀이: $\sqrt{5} < \sqrt{6}$이지만 음수에서는 방향이 반대. 절댓값이 작은 쪽이 더 크다. $-\sqrt{5} > -\sqrt{6}$.

WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying the three comparison methods.

EXAMPLE · 01 · 제곱 비교

$\sqrt{2}$와 $\sqrt{3}$의 대소 관계를 비교하라.

핵심: 양수의 제곱근은 근호 안의 수의 대소와 같은 방향.

STEP 1 · 근호 안의 수 비교

$2 < 3$.

STEP 2 · 결론

두 수 모두 양수이고, $\sqrt{\phantom{a}}$는 단조증가. 따라서 $\sqrt{2} < \sqrt{3}$.

답: $\sqrt{2} < \sqrt{3}$

EXAMPLE · 02 · 무리수와 자연수

$\sqrt{5}$와 $2$의 대소 관계를 비교하라.

핵심: 한 쪽을 제곱해 비교 가능한 형태로.

STEP 1 · 양변 제곱 (둘 다 양수)

$(\sqrt{5})^2 = 5$, $2^2 = 4$.

STEP 2 · 비교

$5 > 4$이므로 $(\sqrt{5})^2 > 2^2$. 둘 다 양수이므로 $\sqrt{5} > 2$.

STEP 3 · 검증

$\sqrt{5} \approx 2.236 > 2$. ✓

답: $\sqrt{5} > 2$

PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★

$\sqrt{3}$과 $\sqrt{7}$ 중 큰 수는? (예: √7)

힌트: $3 < 7$.

P · 02★

$\sqrt{9}$와 $3$의 관계? (같다 / 다르다)

힌트: $9$는 제곱수.

P · 03★

양수 $a < b$일 때 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$ 중 작은 것은? (예: √a)

힌트: 단조증가 함수.

P · 04★★

$\sqrt{2}$와 $1.5$ 중 큰 수는? (예: 1.5)

힌트: 제곱 — $2$ vs $2.25$.

P · 05★★

$\sqrt{10}$과 $3$ 중 큰 수는? (예: √10)

힌트: $10$ vs $9$.

P · 06★★

$-\sqrt{5}$와 $-\sqrt{6}$ 중 큰 수는? (예: -√5)

힌트: 음수에서는 방향 반대.

P · 07★★★

$\sqrt{3}+1$과 $2$ 중 큰 수는? (예: √3+1)

힌트: 차로 비교 — $(\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1 > 0$.

P · 08★★★

$1.41$과 $\sqrt{2}$ 중 큰 수는? (예: √2)

힌트: $1.41^2 = 1.9881 < 2$.

LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

실수 대소 비교의 3가지 도구 — 차의 부호 · 제곱 비교 (양수) · 근사값. 양수의 제곱근은 근호 안의 수와 같은 방향으로 변하지만, 음수에서는 방향이 반대가 된다는 점을 꼭 기억!

차의 부호 제곱 비교 a<b → √a<√b 음수 방향 반대

실수의 대소관계