Irrational Numbers and the Real Number System
Between every two rationals there's a rational — yet rationals leave the number line with holes.
1·2학년에서 우리는 유리수를 배웠습니다. 두 정수의 비 $\dfrac{p}{q}$로 표현되는 모든 수. 그런데 $\sqrt{2}$는 어떨까요? 분명히 존재하는 길이입니다 — 한 변이 $1$인 정사각형의 대각선.
고대 그리스의 피타고라스 학파는 한 가지 사실을 발견하고 충격에 빠졌습니다. $\sqrt{2}$는 어떤 분수로도 표현할 수 없다는 것. 즉 $\sqrt{2}$는 유리수가 아닙니다. 이런 수를 우리는 무리수(irrational number)라 부릅니다.
유리수와 무리수를 모두 합한 가장 풍부한 수의 세계가 바로 실수 $\mathbb{R}$(real numbers). 수직선 위의 모든 점에 정확히 하나씩 대응하는 수들 — 우리가 일상에서 마주치는 수의 총체입니다.
Three fundamental definitions.
유리수가 아닌 실수, 즉 두 정수의 비 $\dfrac{p}{q}$로 표현할 수 없는 수를 무리수라 합니다.
대표 예시: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi$ 등. 모든 비제곱수의 제곱근은 무리수.
유리수와 무리수는 소수 표현으로도 구분됩니다.
예시: $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ — 영원히 계속되며 어떤 패턴으로도 반복되지 않음.
유리수와 무리수를 모두 합한 수를 실수라 합니다. 실수의 집합을 $\mathbb{R}$로 나타냅니다.
A 2,500-year-old proof by contradiction — one of the most famous in mathematics.
$\sqrt{2}$가 유리수라면, $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$로 표현할 수 있다 ($p, q$는 정수, $q \ne 0$).
이때 $p, q$는 서로소(공약수가 $1$뿐)라 가정한다. 즉 $\dfrac{p}{q}$는 기약분수.
양변을 제곱하면: $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$ → $p^2 = 2q^2$.
만약 $p$가 홀수라면 $p^2$도 홀수가 된다 (홀수 $\times$ 홀수 $=$ 홀수). 그런데 $p^2$이 짝수이므로 — $p$는 반드시 짝수.
따라서 $p = 2k$로 쓸 수 있다 (어떤 정수 $k$).
$p = 2k$를 $p^2 = 2q^2$에 대입: $(2k)^2 = 2q^2$ → $4k^2 = 2q^2$ → $q^2 = 2k^2$.
같은 논리로 $q^2$이 짝수 → $q$도 짝수.
$p$도 짝수, $q$도 짝수이면 둘 다 $2$의 배수 → $\gcd(p, q) \ge 2$.
그러나 STEP 1에서 우리는 $\gcd(p, q) = 1$이라 가정했다. 모순(contradiction)!
모순이 나왔으므로 STEP 1의 가정 "$\sqrt{2}$는 유리수"가 거짓이다.
따라서 $\sqrt{2}$는 무리수.
All the numbers we've met so far — in one tree.
양의 정수
자연수, 0, 음의 정수
두 정수의 비
분수로 표현 불가
수직선 위 모든 점
Click any number — see which categories it belongs to.
Quick checks on rationals and irrationals.
Classifying numbers and proving irrationality.
$3$ (정수) · $\dfrac{1}{2}$ (분수) · $0.\overline{3} = \dfrac{1}{3}$ (순환소수) · $\sqrt{9} = 3$ (정수) · $\sqrt{0.04} = 0.2$ (유한소수)
$\sqrt{2}$ (비제곱수) · $\pi$ (원주율) · $-\sqrt{5}$ (비제곱수의 음의 제곱근)
① $\sqrt{2}$가 유리수라 가정 → $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ (기약분수)
② 양변 제곱 → $p^2 = 2q^2$ → $p^2$ 짝수 → $p$ 짝수
③ $p = 2k$ 대입 → $4k^2 = 2q^2$ → $q^2 = 2k^2$ → $q$도 짝수
④ 그런데 $p, q$가 모두 짝수이면 기약분수가 아님 → 모순
⑤ 가정이 틀렸으므로 $\sqrt{2}$는 유리수가 아니다 — 즉 무리수.
★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.
유리수가 아닌 실수가 무리수. $\sqrt{2}$는 분수로 표현할 수 없음을 귀류법으로 증명할 수 있다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수. 유리수와 무리수를 합한 가장 풍부한 수의 세계가 실수 $\mathbb{R}$.