CHAPTER WRAP-UP · GRADE 2 FINALE

Ⅵ

대단원 정리하기

Chapter Ⅵ Recap — 도형의 닮음과 확률

"Similarity scales shape; probability scales chance."

개념 지도 · 핵심 공식 8개 · 주요 오개념 4개 · 학습 체크리스트 · 교과서 참고 — 한눈에 정리. 그리고 2학년의 끝에서 만나는 마지막 페이지.

CORE FORMULAS

핵심 공식 8

Eight formulas — half geometry, half probability.

Ⅵ-1 · 정의

닮음과 닮음비

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ⟹ 대응변 비 $= k$
대응각 크기 같음

모양은 같고 크기만 다름. 닮음비 $k$ 하나가 모든 길이를 결정.

Ⅵ-1 · 성질

닮음비의 거듭제곱

둘레비 $= k$, 넓이비 $= k^2$, 부피비 $= k^3$

차원이 하나 올라갈 때마다 지수가 하나씩 증가. 가장 자주 틀리는 부분.

Ⅵ-1 · 닮음 조건

삼각형의 3가지 닮음 조건

① SSS·: 세 변의 비 같음
② SAS·: 두 변비 + 끼인각
③ AA: 두 각 같음 (변 정보 불필요)

합동 조건의 자연스러운 확장. AA가 가장 자주 쓰임.

Ⅵ-1 · 평행선

평행선과 선분의 비 + 중점연결정리

$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ → $\overline{AD}:\overline{DB} = \overline{AE}:\overline{EC}$
중점 → $\overline{MN} = \dfrac{1}{2}\overline{BC}$

평행선이 잘라낸 변의 비례. AA 닮음에서 도출.

Ⅵ-1 · 직각

직각삼각형의 닮음 + 피타고라스

$\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{BH}$ (수선)
$a^2 + b^2 = c^2$ (피타고라스)

직각삼각형 안의 세 닮은 삼각형이 피타고라스 정리를 자동으로 만든다.

Ⅵ-2 · 경우의 수

합·곱 법칙

"또는" (배반) → $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$
"그리고" (잇따라) → $n = n_1 \times n_2$

"또는"은 더하기, "그리고"는 곱하기 — 한국어 키워드로 판단.

Ⅵ-2 · 정의

확률의 정의와 범위

$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$
$0 \le P(A) \le 1$. $P(\varnothing) = 0$, $P(S) = 1$

모든 결과가 같은 가능성으로 일어난다는 가정 아래 정의.

Ⅵ-2 · 계산

확률 계산 3공식

여사건: $P(A^c) = 1 - P(A)$
배반 합: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
독립 곱: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

"적어도" → 여사건. 단원의 가장 강력한 응용 도구.

COMMON PITFALLS

자주 하는 오개념

Four traps that catch most students.

M-01

닮음비와 넓이비 혼동

닮음비 $2:3$ → 넓이비도 $2:3$ (X)

닮음비 $2:3$ → 넓이비 $\mathbf{2^2 : 3^2 = 4:9}$ (제곱!)

핵심: 길이는 $k$, 넓이는 $k^2$, 부피는 $k^3$. 차원이 올라가면 지수도 올라간다. 정사각형 한 변이 $2$배면 넓이는 $4$배.

M-02

SSA로 닮음 결정 시도

두 변비 + 끼인각이 아닌 다른 각이 같음 → 닮음 (X)

SAS 닮음의 핵심은 두 변비 + 끼인각이 같아야 함

핵심: 합동의 SSA가 일반적으로 모호하듯 닮음의 SSA도 마찬가지. SAS는 두 변 사이의 각이라는 단서가 핵심.

M-03

배반사건과 독립사건 혼동

동전 두 번 던져 둘 다 앞면 → $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ (X)

독립사건 → 곱: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

핵심: "또는" → 배반 → +. "그리고" / "잇따라" → 독립 → ×. 두 시행이 별개로 일어나면 곱셈.

M-04

"적어도" 문제 직접 세기

동전 3개 중 적어도 한 개 앞면 → 1개 + 2개 + 3개 합 (복잡)

여사건 = 모두 뒷면 $= \dfrac{1}{8}$. 답 $= 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

핵심: "적어도 한 번"의 여사건은 단 하나 — "한 번도 안 일어남". 직접 세기보다 훨씬 간단해진다.

LEARNING FLOW

학습 흐름

From similarity to probability — your path through Chapter Ⅵ.

STEP 01

닮음 도형의 정의와 성질

합동의 확장 — 모양은 같고 크기만 다름. 닮음비 $k$ 하나가 모든 것을 결정. 둘레비 $k$, 넓이비 $k^2$, 부피비 $k^3$.

1.1 →

STEP 02

삼각형의 닮음 조건

SSS·, SAS·, AA — 3가지 조건. 합동의 길이 조건이 비례 조건으로 확장. AA가 가장 강력.

1.2 →

STEP 03

평행선과 선분의 비

$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ → $\overline{AD}:\overline{DB} = \overline{AE}:\overline{EC}$. 중점연결정리는 닮음비 $1:2$의 특수 경우.

1.3 →

STEP 04

삼각형 닮음의 활용

직각삼각형의 닮음 → 4가지 관계식 + 피타고라스 정리 자동 증명. 그림자·축척 같은 실생활.

1.4 →

STEP 05

사건과 경우의 수

합의 법칙(+) 또는, 곱의 법칙(×) 그리고. 한국어 키워드로 두 법칙을 구분.

2.1 →

STEP 06

확률의 정의와 성질

$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$. 수학적 확률과 통계적 확률 — 큰 수의 법칙으로 수렴.

2.2 →

STEP 07

확률의 계산 3공식

여사건 ($1 - P$), 배반 합 ($+$), 독립 곱 ($\times$). 배반과 독립의 구분이 핵심.

2.3 →

STEP 08

확률의 활용

"적어도 한 번" → 여사건. 연속 시행 → 곱. 일기예보·게임·보험 — 우리 일상의 확률.

2.4 →

KEY TERMS

용어 사전

10 key terms — definitions you should know cold.

닮음

Similarity (∽)

한 도형을 일정한 비율로 확대·축소한 결과가 다른 도형과 합동일 때.

닮음비

Scale Factor $k$

두 닮은 도형의 대응변의 길이의 비. 단 하나의 숫자가 모든 길이 비례를 결정.

AA 닮음

AA Similarity

두 쌍의 대응각이 같으면 닮음이라는 조건. 변 정보 없이 각만으로 닮음 결정.

중점연결정리

Midpoint Theorem

삼각형의 두 변의 중점을 잇는 선분은 나머지 변과 평행하고 길이가 절반.

피타고라스 정리

Pythagorean Theorem

직각삼각형의 두 다리 $a, b$와 빗변 $c$ 사이에 $a^2 + b^2 = c^2$이 성립.

시행

Trial

반복할 수 있고 결과를 미리 알 수 없는 행위. 예: 동전 던지기, 주사위 굴리기.

사건

Event

시행 결과 중 어떤 특정한 결과들의 집합. 예: "주사위 짝수" = {2, 4, 6}.

확률

Probability $P(A)$

$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$. 사건이 일어날 가능성을 $0$과 $1$ 사이의 수로 표현.

여사건

Complement $A^c$

사건 $A$가 일어나지 않는 사건. $P(A^c) = 1 - P(A)$.

큰 수의 법칙

Law of Large Numbers

시행을 매우 많이 반복하면 통계적 확률이 수학적 확률에 수렴한다는 법칙.

SELF-CHECK

학습 체크리스트

10 milestones to verify your mastery. Click each item when you can confidently say "yes."

닮음의 정의와 닮음비를 안다

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$의 의미와 대응변·대응각을 설명한다.

$k$, $k^2$, $k^3$ 관계를 안다

둘레비 $k$, 넓이비 $k^2$, 부피비 $k^3$을 구분해 적용한다.

3가지 닮음 조건을 활용한다

SSS·, SAS·, AA를 상황에 맞게 선택해 적용한다.

평행선과 선분의 비를 적용한다

$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$일 때 비례식 자유롭게 세움.

중점연결정리를 안다

두 중점을 잇는 선분 = 밑변의 절반.

직각삼각형의 4가지 관계식을 안다

$\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{BH}$ 등을 적용한다.

합·곱 법칙으로 경우의 수를 센다

"또는" → +, "그리고" → × 의 키워드를 구분한다.

확률의 정의와 범위를 안다

$P(A) = n(A)/n(S)$, $0 \le P \le 1$를 안다.

여·합·곱 사건을 구분한다

3가지 공식을 상황에 맞게 선택해 적용한다.

"적어도" 문제를 여사건으로 푼다

$1 - (1-p)^n$ 같은 공식을 자유롭게 활용한다.

0 / 10 마스터

CURRICULUM REFERENCE

2022 개정 교육과정 참고

Curriculum standards and connections covered in this chapter.

9수04-03

도형의 닮음

닮음 도형의 의미와 성질을 이해한다. 닮음비·둘레비·넓이비·부피비의 관계.

9수04-04

삼각형의 닮음 조건

SSS·, SAS·, AA 세 가지 닮음 조건을 이해하고 활용한다.

9수04-05

평행선과 선분의 비

평행선이 만드는 선분의 비례 관계와 중점연결정리를 이해한다.

9수04-06

피타고라스 정리

직각삼각형의 닮음에서 도출되는 $a^2 + b^2 = c^2$를 활용한다.

9수05-01

사건과 확률

사건의 의미를 이해하고 확률을 구할 수 있다. 확률 단원의 핵심 성취기준.

9수05-02

확률의 기본 성질

$0 \le P \le 1$ · 여사건 · 합사건 · 곱사건의 성질을 이해한다.

연계 · 10수

3학년 이차함수

2학년 일차함수의 확장. $y = ax^2 + bx + c$의 곡선 세계로.

연계 · 10수

3학년 삼각비·통계

닮음에서 발전한 삼각비, 확률에서 발전한 통계로 이어진다.

★ GRADE 2 COMPLETE ★

2학년

중학교 수학 2학년 완주!

유리수와 순환소수에서 시작해 — 식의 계산, 일차부등식과 연립방정식, 일차함수, 삼각형과 사각형의 성질, 그리고 도형의 닮음과 확률까지. 6개의 대단원, 12개의 중단원, 96개의 학습 페이지를 모두 마쳤습니다. 1학년의 기초 위에 더 단단한 수학의 집을 쌓았습니다.

Chapters

Units

Lessons

Pages

다음은 3학년 — 이차방정식·이차함수의 곡선 세계, 삼각비, 통계와 원의 성질. 닮음이 삼각비로, 확률이 통계로 자연스럽게 이어집니다. 수학의 더 깊은 여정으로.