HOOK · 시작 질문
두 식을 더하면?
If $y$ and $-y$ stand on opposite sides — just add the equations.
A LITTLE INSIGHT
$\{2x + y = 7,\ x - y = 2\}$를 봅시다. $y$와 $-y$가 보이지 않나요?
두 식을 좌변끼리, 우변끼리 더해 봅시다:
$(2x + y) + (x - y) = 7 + 2$ → $3x = 9$ → $x = 3$. $y$가 사라졌습니다!
이렇게 두 식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거(eliminate)하는 방법이 가감법입니다. 한 미지수의 계수가 같거나 반대 부호일 때 특히 강력합니다.
이 차시는 연립방정식 풀이의 두 번째 방법 — 가감법(elimination method)을 배웁니다. 대입법은 한 식을 변형해 다른 식에 넣어야 하지만, 가감법은 두 식 자체를 묶어 처리합니다.
CORE · 가감법 알고리즘
가감법 5단계
Five steps that handle every system.
ELIMINATION METHOD
가감법 5단계 절차
1
소거할 미지수 결정
계수가 같거나 반대 부호인 것, 또는 계수가 작은 것을 소거 대상으로 정한다.
2
계수 맞추기
두 식의 소거할 미지수 계수의 절댓값을 같게 만들기 위해 양변에 적당한 수를 곱한다.
3
더하거나 빼기
계수의 부호가 반대면 더하고, 같으면 뺀다. 미지수가 하나로 줄어든 일차방정식이 나온다.
4
한 미지수 구하기
남은 일차방정식을 풀어 한 미지수의 값을 구한다.
5
나머지 미지수 구하기
그 값을 원래 식 중 하나에 대입해 다른 미지수를 구한다.
WORKED DEMO · 시연
단계별 시연
Three patterns: easy add, easy subtract, scale-then-eliminate.
시연 ① · 그대로 더하기 (반대 부호)
$\begin{cases} 2x + y = 7 \cdots \text{①} \\ x - y = 2 \cdots \text{②} \end{cases}$
관찰$y$의 계수가 $+1, -1$로 반대 부호.
STEP 3$① + ②$: $(2x + y) + (x - y) = 7 + 2$ → $3x = 9$ → $x = 3$.
STEP 5①에 대입: $2(3) + y = 7$ → $y = 1$.
▶ 해: $(x, y) = (3, 1)$
시연 ② · 그대로 빼기 (같은 부호)
$\begin{cases} x + 2y = 7 \cdots \text{①} \\ x + 3y = 9 \cdots \text{②} \end{cases}$
관찰$x$의 계수가 $1, 1$로 같은 부호.
STEP 3$② - ①$: $(x + 3y) - (x + 2y) = 9 - 7$ → $y = 2$.
STEP 5①에 대입: $x + 2(2) = 7$ → $x = 3$.
▶ 해: $(x, y) = (3, 2)$
시연 ③ · 계수 맞춘 뒤 가감
$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \cdots \text{①} \\ 3x + 2y = 12 \cdots \text{②} \end{cases}$
STEP 1$x$를 소거하기로 결정 (또는 $y$). 계수 $2$와 $3$.
STEP 2$① \times 3$: $6x + 9y = 39$. $② \times 2$: $6x + 4y = 24$.
STEP 3두 식 빼기: $(6x + 9y) - (6x + 4y) = 39 - 24$ → $5y = 15$ → $y = 3$.
STEP 5①에 대입: $2x + 3(3) = 13$ → $2x = 4$ → $x = 2$.
▶ 해: $(x, y) = (2, 3)$
METHODS COMPARED · 비교
대입법 vs 가감법
When to use which method.
METHOD A · 대입법 (2.2)
한 식을 다른 식에 대입
한 미지수를 다른 미지수로 표현 후 다른 식에 넣는다. 이미 $y = \ldots$ 또는 $x = \ldots$로 정리된 식이 있을 때 빠르다.
$y = 2x + 1,\ 3x + y = 11$ → 바로 대입
METHOD B · 가감법 (2.3)
두 식을 더하거나 빼서 소거
두 식의 형태가 비슷하게 정리되어 있을 때 강력하다. 계수가 같거나 반대 부호이면 더하고/빼면 끝, 아니면 계수를 맞춘다.
$2x + y = 7,\ x - y = 2$ → 바로 더하기
요약: 식의 모양을 보고 더 빠른 방법을 선택하면 됩니다. 어느 방법으로 풀어도 결과는 같습니다.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples requiring coefficient adjustment.
EXAMPLE 01
계수 맞추기 + 가감
$\{3x + 2y = 7,\ 2x - 3y = -4\}$의 해를 구하시오.
1
$y$를 소거하기로 결정 ($+2$와 $-3$).
2
$① \times 3$: $9x + 6y = 21$. $② \times 2$: $4x - 6y = -8$.
3
두 식 더하기 (반대 부호): $13x = 13$ → $x = 1$.
4
①에 대입: $3(1) + 2y = 7$ → $2y = 4$ → $y = 2$.
▶ 답: $(x, y) = (1, 2)$
EXAMPLE 02
계수가 큰 경우
$\{2x + 3y = 13,\ 3x + 2y = 12\}$의 해를 구하시오.
1
$x$를 소거. $① \times 3$: $6x + 9y = 39$. $② \times 2$: $6x + 4y = 24$.
2
두 식 빼기 (같은 부호): $(6x + 9y) - (6x + 4y) = 39 - 24$ → $5y = 15$ → $y = 3$.
3
①에 대입: $2x + 3(3) = 13$ → $2x = 4$ → $x = 2$.
▶ 답: $(x, y) = (2, 3)$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems. Type the $x$-value of the solution.
$\{x + y = 5,\ x - y = 1\}$의 $x$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
더하면 $2x = 6$ → $x = 3, y = 2$.
$\{2x + y = 8,\ x + y = 5\}$의 $x$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
$① - ②$: $x = 3, y = 2$.
$\{x + 2y = 10,\ x + 3y = 13\}$의 $y$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
$② - ①$: $y = 3$. $x = 4$.
$\{2x + 3y = 13,\ 3x + 2y = 12\}$의 $x$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
$① \times 3 - ② \times 2$: $5y = 15$ → $y = 3$. $x = 2$.
$\{3x + 2y = 7,\ 2x - 3y = -4\}$의 $x$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
$① \times 3 + ② \times 2$: $13x = 13$ → $x = 1$. $y = 2$.
$\{3x - y = 7,\ 2x + y = 3\}$의 $x$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
$y$의 계수가 $-1, +1$ 반대. 두 식 더하기: $5x = 10$ → $x = 2, y = -1$.
$\{x + y = 7,\ 3x + 2y = 18\}$의 $x$ 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
$① \times 2$: $2x + 2y = 14$. $② - ①\times 2$: $x = 4, y = 3$.
$\{x + y = 6,\ 2x - y = 3\}$의 해가 $ax + by = 9$의 해이기도 할 때, $a + b$의 값은? (답: 숫자만)
SOLUTION
연립의 해: $x + y = 6, 2x - y = 3$ → 더하면 $3x = 9$ → $x = 3, y = 3$.
$(3, 3)$이 $ax + by = 9$의 해 → $3a + 3b = 9$ → $a + b = 3$.