HOOK · 시작 질문
"최대 몇 개 ?" "적어도 몇 점 ?"
When real life asks "at most" or "at least" — inequality is the language.
A LITTLE STORY
10000원으로 800원 사과를 사고 싶다. 최대 몇 개 까지 살 수 있을까?
사과를 $x$개 산다고 하면 비용은 $800x$원. 가진 돈 이하로 써야 하므로 $800x \le 10000$ . 이 부등식을 풀면 $x \le 12.5$. 자연수이므로 최대 12개 .
"이하", "이상", "초과", "미만", "넘는다", "넘지 않는다", "적어도", "많아야", "최대", "최소"... 일상의 말이 부등식 기호로 옮겨집니다. 핵심은 문제의 단어를 부등호로 바꾸는 것 .
이 차시는 일차부등식의 실생활 활용 입니다. 풀이 방법(1.2, 1.3)은 이미 배웠으므로, 이제 가장 어려운 단계는 문장을 식으로 옮기는 것 . 5단계 절차를 익히면 어떤 유형도 풀 수 있습니다.
CORE · 활용 5단계
활용 문제 5단계 절차
A systematic process for every word problem.
WORD PROBLEM PROCESS
활용 문제 5단계 절차
1
미지수 정하기
구해야 할 양을 $x$ 로 둔다. (예: 사과의 개수, 학생의 점수, 직사각형의 가로 등)
2
부등식 세우기
문제의 조건을 부등호 로 변환한다. "이하 → $\le$", "이상 → $\ge$", "넘는다(초과) → $>$", "미만 → $<$".
3
부등식 풀기
1.2 · 1.3에서 배운 방법으로 $x$의 범위 를 구한다.
4
조건 적용
미지수가 자연수·정수·소수 중 무엇인지에 따라 답을 골라낸다. (개수는 자연수, 길이는 양수 등)
5
답 확인
실제 값을 대입하여 검산 한다. 문제의 모든 조건을 만족하는지.
SCENARIOS · 주요 유형
자주 나오는 4가지 유형
Four common scenarios — recognize the pattern.
TYPE A
개수 · 가격
일정 금액 이하 로 살 수 있는 최대 개수. 또는 일정 금액 이상 이 되려면 최소 몇 개.
800x + 500 ≤ 10000
TYPE B
평균 · 점수
$n$개 점수의 평균이 일정 값 이상 이 되려면 마지막 점수의 최솟값은?
(점수합) / n ≥ k
TYPE C
거리 · 속도 · 시간
$t = \dfrac{d}{v}$. 시간이 일정 이내 가 되려면 속도의 최솟값.
거리 / 속도 ≤ 시간
TYPE D
도형 · 둘레·넓이
둘레·넓이가 일정 범위 안. 가로·세로 등의 최대·최소 를 구한다.
2(가로 + 세로) ≤ 둘레
WORKED DEMO · 시연
단계별 시연
Two complete walkthroughs.
시연 ① · 가격 문제
사과를 1개 800원, 배를 1개 1200원에 사려고 한다. 배를 2개 사고, 사과와 배를 합쳐 총 10000원 이하로 사려면 사과는 최대 몇 개 까지 살 수 있는가?
STEP 1 미지수: 사과 개수를 $x$라 하자.
STEP 2 부등식: $800x + 1200 \times 2 \le 10000$.
STEP 3 풀이: $800x + 2400 \le 10000$ → $800x \le 7600$ → $x \le 9.5$.
STEP 4 조건: 개수는 자연수 . $x \le 9.5$를 만족하는 최대 자연수는 $9$.
STEP 5 검산: $800 \times 9 + 2400 = 9600 \le 10000$ ✓
▶ 답: 사과 최대 9개
시연 ② · 거리·속도·시간
자동차로 시속 60km로 가면 1시간 30분이 걸리는 거리를 시속 $x$km로 가면 1시간 이내 에 도착하려고 한다. $x$의 최솟값 은?
STEP 1 거리 계산: 60 × 1.5 = 90km . 미지수는 $x$ (속도).
STEP 2 부등식: 시간 = 거리/속도 = $\dfrac{90}{x} \le 1$.
STEP 3 풀이: 양변 × $x$ (속도는 양수이므로 방향 유지): $90 \le x$, 즉 $x \ge 90$.
STEP 4 조건: 속도는 양수. $x$의 최솟값은 90 .
▶ 답: 시속 90km 이상
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples — average problem and geometry problem.
EXAMPLE 01
평균 점수 문제
4번의 시험 점수가 80, 85, 90, $x$점이다. 평균이 85점 이상 이 되려면 $x$의 최솟값 은?
2
부등식: $\dfrac{80 + 85 + 90 + x}{4} \ge 85$.
3
풀이: 양변 × 4 → $255 + x \ge 340$ → $x \ge 85$.
▶ 답: 최소 $85$점
EXAMPLE 02
도형 문제
둘레가 $30$cm 이하 인 직사각형이 있다. 가로가 세로보다 $2$cm 길다. 세로의 최댓값 은?
1
미지수: 세로의 길이를 $y$ cm. 가로는 $y + 2$ cm.
2
부등식: 둘레 = $2(y + y + 2) \le 30$, 즉 $4y + 4 \le 30$.
3
풀이: $4y \le 26$ → $y \le 6.5$.
4
길이는 양수이므로 $0 < y \le 6.5$. 최댓값은 $6.5$cm .
▶ 답: 세로 최댓값 $6.5$cm
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
연속된 세 자연수의 합이 $15$보다 클 때, 가장 작은 자연수의 최솟값 은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
가장 작은 자연수를 $n$이라 하면 세 수는 $n, n+1, n+2$.
합: $3n + 3 > 15$ → $n > 4$. 자연수 최솟값은 $5$.
한 권에 1500원인 노트와 한 자루에 500원인 연필을 합쳐 6000원 이하 로 사려고 한다. 연필을 4자루 살 때, 노트는 최대 몇 권 살 수 있는가? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
노트 $x$권. $1500x + 500 \times 4 \le 6000$ → $1500x \le 4000$ → $x \le 8/3 \approx 2.67$. 자연수 최댓값 $2$.
시속 $60$km로 가면 $1$시간 $30$분이 걸리는 거리를 시속 $x$km로 가면 $1$시간 이내 에 도착하려고 한다. $x$의 최솟값 은? (답: 숫자만, km/h 단위)
확인 풀이
SOLUTION
거리 = $60 \times 1.5 = 90$km. $\dfrac{90}{x} \le 1$ → $x \ge 90$. 최솟값 $90$.
어떤 정수의 $4$배에서 $7$을 뺀 값이 $17$보다 크다. 그 정수의 최솟값 은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$4x - 7 > 17$ → $4x > 24$ → $x > 6$. 정수 최솟값은 $7$.
$4$번의 시험 점수가 $80, 85, 90, x$점이다. 평균이 $85$점 이상 이 되려면 $x$의 최솟값 은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$\dfrac{80 + 85 + 90 + x}{4} \ge 85$ → $255 + x \ge 340$ → $x \ge 85$. 최솟값 $85$점.
사진관에서 사진을 인화할 때 기본료 $3000$원과 $1$장당 $200$원이 든다. $50000$원 이하 로 인화하려면 최대 몇 장 까지 인화할 수 있는가? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$x$장. $3000 + 200x \le 50000$ → $200x \le 47000$ → $x \le 235$. 최댓값 $235$장.
둘레가 $30$cm 이하인 직사각형의 가로가 세로보다 $2$cm 길다. 세로의 최댓값 은? (답: 숫자만, cm 단위)
확인 풀이
SOLUTION
세로 $y$, 가로 $y + 2$. 둘레: $2(y + y + 2) = 4y + 4 \le 30$ → $y \le 6.5$.
사과는 한 개당 $800$원이지만 $10$개 이상 사면 한 개당 $700$원으로 할인된다. $9$개 사는 것보다 더 많이 사고도 더 적게 내려면 사과를 몇 개 사야 하는가 ? (답: 숫자만, 가능한 최소 개수)
확인 풀이
SOLUTION
$9$개 가격: $800 \times 9 = 7200$원. $n$개 ($n \ge 10$)일 때 가격: $700n$원.
조건: $700n < 7200$이면서 $n > 9$. $n < 10.28...$. $n \ge 10$인 자연수 → $n = 10$.
검산: $10$개 = $7000$원 < $7200$원이고 $10 > 9$ ✓.