HOOK · 시작 질문
$=$이 아니라 $<$이라면?
When equality becomes inequality — the answer shifts from a point to a range.
A LITTLE PUZZLE
$2x - 3 = 7$의 해는 $x = 5$. 그렇다면 $2x - 3 < 7$의 해는?
방정식의 해는 단 한 점이지만, 부등식의 해는 범위입니다. 위 식을 풀면 $2x < 10$, 즉 $x < 5$. 이 부등식을 참이 되게 하는 $x$의 값은 무수히 많습니다 — $4$, $3$, $0$, $-7$, ... 모두 해입니다.
부등식의 풀이는 방정식과 거의 같지만, 한 가지 결정적인 차이가 있습니다. 그것을 발견하기 위해 먼저 부등호의 의미와 부등식이 따르는 규칙들을 정리해 봅시다.
이 차시는 부등식의 정의·종류·성질을 배웁니다. 핵심은 부등식이 따르는 네 가지 성질이며, 그 중 가장 중요한 것은 음수를 양변에 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀐다는 규칙입니다.
DEFINITION · 부등호의 종류
네 가지 부등호
Four symbols for four relationships.
부등식이란 두 수나 식의 대소 관계를 부등호($>$, $<$, $\ge$, $\le$)로 나타낸 식입니다.
$>$
크다 · 초과
Greater Than
$a > b$: $a$는 $b$보다 크다.
$x > 3$: $x$는 $3$보다 큰 수 (3은 포함하지 않음)
$<$
작다 · 미만
Less Than
$a < b$: $a$는 $b$보다 작다.
$x < 5$: $x$는 $5$보다 작은 수 (5는 포함하지 않음)
$\ge$
크거나 같다 · 이상
Greater or Equal
$a \ge b$: $a$는 $b$보다 크거나 같다.
$x \ge 0$: $x$는 $0$ 이상 (0 포함)
$\le$
작거나 같다 · 이하
Less or Equal
$a \le b$: $a$는 $b$보다 작거나 같다.
$x \le 10$: $x$는 $10$ 이하 (10 포함)
부등식의 해란 부등식의 미지수에 대입했을 때 부등식이 참이 되게 하는 값입니다. 그리고 그 해를 모두 모은 것이 해의 집합(보통 수직선 위의 범위로 표현)입니다.
CORE · 부등식의 4가지 성질
부등식의 4가지 성질
Four rules that govern every inequality. Master them, and you can solve anything.
PROPERTIES OF INEQUALITIES
부등식의 네 가지 황금률
①
덧셈·뺄셈 — 부호 유지
$a < b \Rightarrow a + c < b + c,\quad a - c < b - c$
양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 유지된다.
②
양수 곱·나눗셈 — 부호 유지
$a < b,\ c > 0 \Rightarrow ac < bc,\quad \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$
양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 방향 유지.
③
⚠️ 음수 곱·나눗셈 — 부호 반전
$a < b,\ c < 0 \Rightarrow ac > bc,\quad \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$
양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 반대로 바뀐다. 이 단원 최대 핵심!
④
동치 관계
$a < b$ 이면 $-a > -b$, $\dfrac{1}{a} \neq \dfrac{1}{b}$의 대소는 부호에 따라 다름
위 성질들의 특별한 경우로, 음수와의 곱·역수에서 자주 활용.
시연 ① · 덧셈은 안전 $-3 < 5$
$-3 < 5$의 양변에 $+4$를 더하면?
덧셈 · 방향 유지
$-3 + 4 \ ?\ 5 + 4$
$\ \ \ 1 \ \ <\ \ 9$
→ 부등호 그대로 $<$
뺄셈 · 방향 유지
$-3 - 2 \ ?\ 5 - 2$
$-5 \ \ <\ \ 3$
→ 부등호 그대로 $<$
시연 ② · 양수 곱셈도 안전
$-3 < 5$의 양변에 $+2$를 곱하면?
양수 곱 · 유지
$(-3) \times 2\ ?\ 5 \times 2$
$\ -6 \ \ <\ \ 10$
→ 부등호 그대로 $<$
음수 곱 · 반전!
$(-3) \times (-2)\ ?\ 5 \times (-2)$
$\ \ 6 \ \ ?\ \ \ -10$
$\ \ 6 \ \ >\ \ -10$
→ 부등호 반전 $>$
⚠️ MOST CRITICAL RULE
음수 곱·나눗셈 시 부등호 방향 반전
✗ 흔한 실수
$-2x > 6$
$\Rightarrow x > -3$ ← 잘못 (방향 그대로)
✓ 올바른 풀이
$-2x > 6$
양변 ÷ $(-2)$
$\Rightarrow x < -3$ ← 방향 반전!
기억 팁: 부등식 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때마다 방향이 한 번 뒤집힌다고 외우세요. 두 번 곱하면 두 번 뒤집혀 원래 방향.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples applying the four properties.
EXAMPLE 01
다단계 변환
$a < b$일 때, $-3a + 7$과 $-3b + 7$의 대소 관계를 구하시오.
1
먼저 $a < b$의 양변에 $-3$ 곱: 음수 곱 → 방향 반전. $-3a > -3b$.
2
이제 양변에 $+7$을 더한다: 덧셈 → 방향 유지. $-3a + 7 > -3b + 7$.
▶ 답: $-3a + 7 > -3b + 7$
EXAMPLE 02
범위의 변환
$-2 < x \le 3$일 때, $1 - 2x$의 값의 범위를 구하시오.
1
$-2 < x \le 3$의 양변에 $-2$를 곱한다 (음수 → 방향 반전):
$4 > -2x \ge -6$. 다시 쓰면 $-6 \le -2x < 4$.
2
양변에 $+1$을 더한다 (방향 유지):
$-6 + 1 \le -2x + 1 < 4 + 1$ → $-5 \le 1 - 2x < 5$.
▶ 답: $-5 \le 1 - 2x < 5$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
$-3 < 5$의 양변에 $+4$를 더한 결과는? (왼쪽 값과 오른쪽 값을 부등호로 연결, 형식: 1<9)
SOLUTION
$-3 + 4 = 1$, $5 + 4 = 9$. 덧셈은 방향 유지. ▶ $\mathbf{1 < 9}$.
$-3 < 5$의 양변에 $-2$를 곱한 결과는? (형식: 6>-10)
SOLUTION
$(-3) \times (-2) = 6$, $5 \times (-2) = -10$. 음수 곱 → 방향 반전. ▶ $\mathbf{6 > -10}$.
"$x$는 $5$ 이상"을 부등식으로 나타내시오. (형식: x>=5 또는 x≥5)
SOLUTION
"이상"은 자기 자신을 포함하므로 $\ge$. ▶ $\mathbf{x \ge 5}$.
$a < b$일 때 $2a + 1$과 $2b + 1$의 대소 관계를 부등호로 나타내시오. (형식: 2a+1<2b+1)
SOLUTION
$a < b$ → 양변에 양수 $2$ 곱: $2a < 2b$.
양변에 $+1$ 더하기: $2a + 1 < 2b + 1$ (방향 유지).
$a < b$일 때 $-3a$와 $-3b$의 대소 관계를 부등호로 나타내시오. (형식: -3a>-3b)
SOLUTION
$a < b$의 양변에 음수 $-3$ 곱 → 방향 반전. ▶ $\mathbf{-3a > -3b}$.
$-2x > 8$의 해를 구하시오. (형식: x<-4)
SOLUTION
양변 ÷ $(-2)$: 음수 나눗셈 → 방향 반전.
$\dfrac{-2x}{-2} \,?\, \dfrac{8}{-2}$ → $x < -4$.
$-2 < x \le 3$일 때 $1 - 2x$의 값의 범위를 구하시오. (형식: -5<=1-2x<5)
SOLUTION
양변에 $-2$ 곱 (방향 반전): $-6 \le -2x < 4$.
양변에 $+1$ 더하기: $-5 \le 1 - 2x < 5$.
"어떤 자연수 $x$의 $4$배에서 $7$을 뺀 수는 $17$보다 작다." 이를 부등식으로 나타내시오. (형식: 4x-7<17)
SOLUTION
"$x$의 $4$배에서 $7$을 뺀 수" = $4x - 7$.
"$17$보다 작다" → $< 17$.
▶ $\mathbf{4x - 7 < 17}$.