2.1 순환소수를 분수로 · Ⅰ-2. 순환소수와 유리수

HOOK

$0.\dot{3}$은 정말 $\dfrac{1}{3}$인가?

"$0.333\ldots$이 끝없이 이어지는데, 그것이 정확히 $\dfrac{1}{3}$이라니, 어떻게 증명할까?" — 직관적으로 의심스럽지만, 단 두 줄의 식으로 증명됩니다.

$x = 0.\dot{3}$이라 두면 $10x = 3.\dot{3}$. 두 식을 빼면 끝없는 부분이 깔끔히 소거되고 $9x = 3$. 결국 $x = \dfrac{1}{3}$. "무한"을 "유한 식"으로 끌어내리는 마법.

"무한히 긴 패턴은 $10$배 빼기만으로 정복된다."

CORE METHOD

$10$배 빼기의 마법

THE TRICK

순환소수 $x$에 적절한 $10$의 거듭제곱을 곱한 뒤, 원래 식을 빼면 — 무한히 이어지는 꼬리가 깔끔히 사라지고 유한 식만 남는다.

$x = 0.\dot{3}$의 경우

$x = 0.333\ldots$
$10x = 3.333\ldots$
두 식을 빼면 (소수점 이하가 정확히 같으므로 소거):
$10x - x = 3.333\ldots - 0.333\ldots$
$\;\;\; = 3$
$\Rightarrow 9x = 3$
$\Rightarrow x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ ✓

$3$단계 알고리즘

순환소수를 $x$로 놓고 식 ①

$x = 0.\dot{3}$, $x = 0.\dot{1}\dot{2}$, $x = 0.1\dot{6}$ 등.

소수점 위치가 일치하도록 $10^k$배 → 식 ②

순환마디 길이가 $k$이면 $10^k$를 곱해 두 식의 소수점 이하 부분이 같아지도록.

두 식을 빼서 $x$의 분수 표현

소수점 이하가 같으므로 빼면 깔끔히 사라짐. 남은 식에서 $x$를 분수로 정리.

CASE STUDY

세 가지 유형

유형 1 — 소수점 바로 다음부터 순환

$x = 0.\dot{1}\dot{2}$를 분수로

$x = 0.121212\ldots$ ①

순환마디 길이 $2$이므로 $100$배:

$100x = 12.121212\ldots$ ②

② $-$ ①: $99x = 12$

$x = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$

유형 2 — 비순환부 있는 경우

$x = 0.1\dot{6}$을 분수로

$x = 0.1666\ldots$
두 식을 만들 때 소수점 이하 패턴이 정확히 같도록:
$10x = 1.666\ldots$ (소수점 이동으로 비순환부 1자리 흡수) ①
$100x = 16.666\ldots$ ②
② $-$ ①: $90x = 15$
$x = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$ ✓

유형 3 — 비순환부가 여러 자리

$x = 0.2\dot{4}\dot{5}$를 분수로

$x = 0.2454545\ldots$
비순환부 1자리, 순환마디 2자리:
$10x = 2.454545\ldots$ ①
$1000x = 245.454545\ldots$ ②
② $-$ ①: $990x = 243$
$x = \dfrac{243}{990} = \dfrac{27}{110}$

RULE OF THUMB

소수점 위치를 맞추어 두 식의 소수점 이하가 정확히 같도록 → 빼면 깔끔히 소거.

큰 $10$배 $\to$ 순환마디 끝까지 한 번 더 옮긴 위치. 작은 $10$배 $\to$ 비순환부 직후 위치.

INTERACTIVE

순환소수 → 분수 변환기

비순환부 길이와 순환마디를 입력하면 자동으로 분수로 변환합니다.

DECIMAL → FRACTION SOLVER

비순환부 (소수점 이하, 0 가능)

순환마디

RESULT

$\dfrac{1}{3}$

x = 0.333…
10x = 3.333…
10x − x = 3 → 9x = 3 → x = 3/9 = 1/3

QUICK CHECK · 5문항

개념을 점검해 봅시다

Q-01

선택형

$x = 0.\dot{3}$일 때 $10x - x$의 값은?

Q-02

선택형

$x = 0.\dot{4}\dot{5}$를 분수로 나타내면? (기약분수)

Q-03

수치 입력

$x = 0.\dot{1}\dot{2}$를 분수로 나타내면 $\dfrac{a}{33}$이다. $a$의 값은?

Q-04

선택형

$x = 0.1\dot{6}$을 분수로 표현하기 위해 양변에 곱해야 하는 두 수의 짝은?

Q-05

수치 입력

$0.\dot{1}\dot{8}$을 기약분수 $\dfrac{a}{11}$로 나타낼 때 $a$의 값은?

WORKED EXAMPLES · 2문항

예제로 익혀 보자

EXAMPLE 01

$x = 0.\dot{2}\dot{7}$을 기약분수로 나타내시오.

$x = 0.272727\ldots$ ①

순환마디 $2$자리 → 양변에 $100$ 곱: $100x = 27.272727\ldots$ ②

② $-$ ①: $99x = 27$

$x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ (약분: $\gcd(27, 99) = 9$).

▶ $\dfrac{3}{11}$

EXAMPLE 02

$x = 0.2\dot{1}\dot{3}$을 기약분수로 나타내시오.

$x = 0.2131313\ldots$. 비순환부 $1$자리, 순환마디 $2$자리.

$10x = 2.131313\ldots$ ①, $1000x = 213.131313\ldots$ ②

② $-$ ①: $990x = 211$

$x = \dfrac{211}{990}$ ($\gcd(211, 990) = 1$이므로 기약).

▶ $\dfrac{211}{990}$

PRACTICE · 8문항

스스로 연습해 보자

P-01 ★

수치 입력

$x = 0.\dot{6}$을 분수로 표현했을 때 $\dfrac{a}{3}$이다. $a$의 값은?

P-02 ★

수치 입력

$x = 0.\dot{3}\dot{6}$을 기약분수 $\dfrac{a}{11}$로 나타낼 때 $a$의 값은?

P-03 ★

수치 입력

$x = 0.\dot{8}\dot{1}$을 기약분수 $\dfrac{a}{11}$로 나타낼 때 $a$는?

P-04 ★★

수치 입력

$0.0\dot{3}$을 기약분수 $\dfrac{a}{30}$으로 나타낼 때 $a$의 값은?

P-05 ★★

수치 입력

$0.\dot{1}2\dot{5}$를 기약분수 $\dfrac{a}{999}$로 나타낼 때 $a$는?

P-06 ★★

수치 입력

$0.1\dot{2}$를 기약분수로 나타내면 $\dfrac{a}{90}$이다. $a$는?

P-07 ★★★

수치 입력

$0.0\dot{2}\dot{7}$ $= \dfrac{a}{110}$일 때 $a$의 값은? (기약분수가 아니어도 분모가 $110$이 되도록)

P-08 ★★★

수치 입력

$0.\dot{9}$를 분수로 표현하면 $\dfrac{a}{1}$이다. $a$의 값은? (놀라운 결과)

WRAP-UP

2.1 순환소수를 분수로 — 핵심 정리

$10^k$배 빼기로 무한 패턴을 소거. 비순환부와 순환마디의 길이를 보고 $10$의 거듭제곱을 결정.

POINT 1

$x$로 놓고 $10^k$배로 소수점 이하를 맞춰 빼면 무한 부분 소거

POINT 2

순환마디만 있는 경우: 순환마디 길이만큼 $10$ 곱하기

POINT 3

비순환부 있는 경우: 두 번 곱해서 소수점 이하 일치시키기

POINT 4

$0.\dot{9} = 1$ — 놀라운 항등성! (검산: $10 \times 0.\dot{9} - 0.\dot{9} = 9 \Rightarrow x = 1$)