HOOK
분포의 흐름이 보일 때
히스토그램은 분포를 보여 주지만 막대들이 "계단" 같아서 분포의 부드러운 흐름을 잡아내기 어렵습니다. 그래서 우리는 막대들의 윗변 가운데 점을 차례로 잇는 꺾은선을 그립니다.
이 꺾은선이 바로 도수분포다각형입니다. 양 끝에 도수가 0인 가상의 계급을 더해 가로축에 닿게 만들어, 폐곡선처럼 닫힌 다각형의 모양이 되도록 합니다.
"막대의 끝점들이 손을 잡으면, 자료의 분포가 흐름이 된다."
CORE CONCEPT
도수분포다각형의 약속
DEFINITION 01
도수분포다각형(frequency polygon): 히스토그램 각 막대의 윗변 가운데 점(계급값 위치)을 차례로 선분으로 연결한 그래프. 양 끝에는 도수가 $0$인 가상의 계급을 추가하여 가로축에 닿게 한다.
그리는 방법
4 단계
1단계: 도수분포표(또는 히스토그램)에서 각 계급의 계급값 위치에 도수만큼의 점을 찍는다.
2단계: 양 끝 — 맨 처음 계급의 한 단계 앞과 맨 끝 계급의 한 단계 뒤 — 에 도수 $0$인 가상의 점을 찍는다.
3단계: 모든 점들을 차례로 선분으로 연결한다.
4단계: 양 끝점이 가로축에 닿으므로 다각형의 모양이 닫힌다.
위의 시험 점수 자료(20명)로 도수분포다각형을 그려 봅시다. 계급값은 $55, 65, 75, 85, 95$이고 양 끝의 가상 계급값은 $45, 105$.
학생 20명의 시험 점수 도수분포다각형
주황색 꺾은선이 도수분포다각형. 양 끝점 ($45, 0$)과 ($105, 0$)이 가로축에 닿아 닫힌 다각형의 모양이 됩니다. 점선으로 그린 막대들은 같은 자료의 히스토그램.
계급의 개수 vs 점의 개수
도수분포표의 계급이 $k$개라면, 도수분포다각형의 점은 $k + 2$개입니다 (양 끝의 가상 계급 2개 포함).
예: 계급 5개 → 점 7개. 계급 6개 → 점 8개.
AREA PROPERTY
넓이가 같다
도수분포다각형은 히스토그램의 막대 윗변에서 한쪽으로 도수의 일부를 떼어 다른 쪽으로 옮긴 것과 같습니다. 각 막대마다 잘려 나간 삼각형의 넓이만큼 다른 곳의 삼각형 넓이로 보충되어, 전체 넓이는 변하지 않습니다.
위 시험 점수 다각형의 경우: 계급 크기 $= 10$, 도수 총합 $= 20$, 따라서 넓이 $= 10 \times 20 = 200$.
WHY POLYGONS?
두 자료를 비교할 때
도수분포다각형의 진짜 위력은 두 자료를 한 그래프에 겹쳐 비교할 때 드러납니다. 히스토그램을 두 개 겹치면 막대가 서로 가려 보기 힘들지만, 도수분포다각형은 꺾은선이라 두 개를 깔끔하게 겹쳐 그릴 수 있습니다.
1반 vs 2반 시험 점수 비교
한눈에 보입니다 — 2반(주황 점선)이 1반(파랑)보다 전반적으로 점수가 높은 쪽으로 분포되어 있다는 것이. 막대 형태였다면 이렇게 쉽게 비교하기 어려웠을 것입니다.
INTERACTIVE
모드를 전환해 보자
같은 자료를 히스토그램으로 볼 때와 도수분포다각형으로 볼 때의 차이를 직접 비교해 봅니다.
HISTOGRAM ↔ POLYGON
QUICK CHECK · 5문항
개념을 점검해 봅시다
위의 시험 점수 도수분포다각형(20명, 계급 5개)을 참고해서 푸세요.
도수분포다각형은 어떤 점들을 연결한 그래프인가?
계급이 $5$개일 때 도수분포다각형의 점은 모두 몇 개인가?
개
도수가 가장 큰 점의 가로 좌표(계급값)는 몇 점인가? (수만 입력)
점
도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 영역의 넓이는? (계급 크기 $10$, 도수 총합 $20$)
PRACTICE · 8문항
스스로 연습해 보자
학생 $30$명의 한 달 독서 시간 도수분포표는 다음과 같습니다. P-01 ~ P-06을 이 표로 푸세요.
| 독서 시간 (시간) | 도수 (명) |
|---|
| $0 \sim 5$ 미만 | 3 |
| $5 \sim 10$ 미만 | 7 |
| $10 \sim 15$ 미만 | 10 |
| $15 \sim 20$ 미만 | 6 |
| $20 \sim 25$ 미만 | 3 |
| $25 \sim 30$ 미만 | 1 |
| 합계 | 30 |
도수분포다각형의 점은 모두 몇 개인가? (계급 $6$개 + 양 끝 2개)
개
도수가 가장 큰 점의 가로 좌표(계급값)는 몇 시간인가? (수만 입력)
시간
독서 시간이 $10$시간 이상 $20$시간 미만인 학생은 몇 명인가? (두 계급 도수 합)
명
도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 영역의 넓이는?
왼쪽 끝 가상 점의 가로 좌표(계급값)는?
두 도수분포다각형을 같은 그래프에 그렸을 때, 한 그래프의 봉우리(가장 높은 점)가 다른 그래프보다 오른쪽에 있다면 어떤 의미인가?
어떤 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 영역의 넓이가 $250$이고 계급의 크기가 $5$일 때, 도수의 총합은?
개