"All things are number." — Pythagoras
평면이 일어서면 무엇이 되는가 — 다면체와 회전체, 그리고 그 겉넓이와 부피를 구하는 우아한 공식들.
"한 장의 종이를 접으면 상자가 되고, 한 줄기의 도형을 돌리면 항아리가 된다. 평면이 입체로 일어서는 두 가지 길."
평면에서 다각형과 원이 자라났다면, 입체에서는 그것이 두 가지 길로 일어섭니다. 다면체는 다각형이 여러 장 모여 만들어집니다 — 각기둥·각뿔·정다면체. 회전체는 평면도형 하나를 직선을 축으로 회전시켜 만듭니다 — 원기둥·원뿔·구.
그리고 모든 입체도형에는 두 가지 핵심 양이 있습니다 — 겉넓이와 부피. 겉넓이는 모든 면의 넓이의 합. 부피는 그 안을 가득 채우는 공간의 크기. 신기하게도 이 둘은 $\frac{1}{3}$이라는 마법의 수와 자주 만납니다 — 같은 밑면과 높이를 가진 뿔의 부피는 기둥의 정확히 $\frac{1}{3}$.
아르키메데스는 자신의 묘비에 "원기둥 안에 꼭 맞는 구"의 그림을 새겨 달라고 했다고 합니다. 그가 발견한 것은 — 구의 부피와 구를 둘러싼 원기둥의 부피의 비가 정확히 $\mathbf{2:3}$이라는 사실. 곡면을 다루는 가장 우아한 결과 중 하나이며, 그가 평생을 두고 가장 자랑스러워한 성취입니다.
다면체 → 정다면체와 회전체 → 겉넓이 → 부피 → 점검과 수행.
각기둥·각뿔·각뿔대, 면·모서리·꼭짓점.
5종 정다면체, 회전체와 단면, 전개도.
기둥·뿔·구의 겉넓이를 구하는 식.
기둥·뿔·구의 부피와 $\tfrac{1}{3}$의 마법.
12문제로 입체도형의 핵심을 점검합니다.
생활 속 입체도형을 설계하고 측정하는 6단계 과제.