Volume — and the magic of one-third
기둥과 뿔, 구의 부피. 그리고 그 모든 것을 지배하는 한 개의 수 — $\frac{1}{3}$.
같은 밑면과 같은 높이를 가진 원기둥과 원뿔이 있다고 합시다. 원뿔에 물을 가득 채워 원기둥에 부으면 — 정확히 $\dfrac{1}{3}$만큼만 차오릅니다. 한 번 더 부어도 $\dfrac{2}{3}$. 세 번을 부어야 비로소 원기둥이 가득 찹니다.
이 단순한 관계가 모든 뿔의 부피 공식의 핵심입니다 — 뿔의 부피는 같은 밑면·같은 높이를 가진 기둥의 정확히 $\dfrac{1}{3}$. 사각뿔이든 원뿔이든 예외 없이.
"공간을 차지하는 모든 양은 단 두 가지로 환원된다 — 기둥과 그 $\dfrac{1}{3}$인 뿔."
부피(volume): 입체도형이 공간에서 차지하는 크기. 단위는 cm³, m³ 등.
기둥은 합동인 두 밑면이 평행하게 놓인 입체. 그래서 부피는 밑넓이를 높이만큼 그대로 쌓은 양입니다.
구체적으로 적용해 봅시다.
직육면체: 가로 $a$, 세로 $b$, 높이 $c$ → $V = abc$.
정육면체: 한 모서리 $a$ → $V = a^3$.
삼각기둥: 밑면 삼각형의 넓이 $S$, 높이 $h$ → $V = Sh$.
원기둥: 밑면 반지름 $r$, 높이 $h$ → $V = \pi r^2 h$.
같은 밑면과 같은 높이를 가진 뿔과 기둥의 부피의 비는 $1 : 3$입니다.
한 정육면체를 한 꼭짓점에서 시작해서 정확히 3등분하면 — 같은 밑면을 가진 세 개의 합동인 사각뿔로 나뉩니다. 즉, 정육면체 1개 = 그 안에 들어 있는 같은 밑면·같은 높이의 사각뿔 3개. 더 일반적으로, 어떤 기둥이든 같은 모양의 세 뿔로 채울 수 있다는 것이 카발리에리 원리로 증명됩니다.
구의 부피 공식은 고대 그리스의 아르키메데스가 발견한 가장 자랑스러운 결과 중 하나입니다.
반지름 $r$인 구를 정확히 둘러싸는 원기둥(높이 $2r$)을 그려 보자. 그러면 — 구의 부피는 원기둥의 부피의 정확히 $\dfrac{2}{3}$이다.
(원기둥 부피) $= \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$, (구 부피) $= \dfrac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
도형을 선택하고 파라미터를 조절하면 부피가 자동으로 계산됩니다.
기둥의 부피는 밑넓이 × 높이. 뿔의 부피는 그 $\dfrac{1}{3}$. 구의 부피는 $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. 그리고 원기둥 : 구 : 원뿔 = $3:2:1$이라는 아르키메데스의 발견.
기둥: $V = S \cdot h$. 원기둥: $V = \pi r^2 h$
뿔: $V = \dfrac{1}{3} S h$. 원뿔: $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
구: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
아르키메데스: (원기둥) : (구) : (원뿔) $= 3:2:1$ (같은 $r$, 높이 $2r$)