Surface Area — wrap it up and unfold
입체도형의 표면을 모두 펼친 후 평면도형으로 넓이를 구하는 가장 우아한 방법.
택배 상자를 천천히 풀어 펼쳐 보면 — 사각형 여러 개가 이어진 평평한 종이가 됩니다. 이것이 입체도형의 전개도입니다. 그리고 그 전개도의 넓이가 바로 입체도형의 겉넓이입니다.
입체도형의 겉넓이를 구하는 가장 좋은 방법은 — 머릿속에서 그 입체를 펼쳐 보는 것입니다. 그러면 우리가 이미 알고 있는 평면도형(직사각형·삼각형·원·부채꼴)의 넓이만으로 답을 낼 수 있습니다.
"입체를 풀어 평면으로 만들면, 모든 답은 평면도형의 넓이가 된다."
겉넓이(surface area): 입체도형의 모든 면의 넓이의 합. 표면을 펼친 전개도의 넓이와 같다.
겉넓이를 구할 때 공통의 전략은:
대부분의 입체도형(특히 기둥과 뿔)은:
$\text{겉넓이} = \text{(밑넓이의 합)} + \text{(옆넓이)}$
기둥은 위·아래 두 밑면이 있으므로 밑넓이 × 2, 뿔은 한 밑면뿐.
각기둥을 펼치면 위·아래 두 합동인 다각형(밑면)과 옆면 직사각형들이 일렬로 나옵니다. 옆면 전체를 합치면 가로가 밑면의 둘레, 세로가 기둥의 높이인 직사각형 하나로 볼 수 있습니다.
각뿔의 옆면은 모두 삼각형. 옆넓이는 각 삼각형 넓이의 합입니다. 정$n$각뿔이면 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형이므로 한 개의 넓이 × $n$.
원기둥을 펼치면 — 위·아래 두 원과, 옆면은 가로가 원의 둘레 $2\pi r$, 세로가 높이 $h$인 직사각형이 됩니다.
원뿔을 펼치면 — 밑면은 원이고, 옆면은 부채꼴이 됩니다. 이 부채꼴의 반지름은 원뿔의 모선 $l$, 호의 길이는 밑면 원의 둘레 $2\pi r$과 같습니다.
옆면 부채꼴의 넓이를 구해 봅시다. 반지름 $l$, 호의 길이 $2\pi r$인 부채꼴이므로 별식 $S = \tfrac{1}{2}rl$ (1.4에서 배움)을 적용:
밑넓이 $\pi r^2$을 더하면 원뿔의 겉넓이 공식이 완성됩니다.
구는 펼칠 수 없는 곡면이지만, 아르키메데스의 발견에 따르면 구의 겉넓이는 구를 둘러싼 원기둥의 옆넓이와 정확히 같습니다 ($2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$).
도형을 선택하고 파라미터를 조절하면 겉넓이가 자동으로 계산됩니다.
입체도형의 겉넓이는 전개도의 넓이. 기둥은 (밑넓이) × 2 + (밑면 둘레) × 높이, 뿔은 (밑넓이) + (옆면 넓이 합). 회전체는 원·부채꼴 공식으로 풀린다.
각기둥: $S = 2 \times$(밑넓이) + (밑면 둘레) $\times h$
원기둥: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
원뿔: $S = \pi r^2 + \pi r l$ ($l$ = 모선)
구: $S = 4\pi r^2$ (대원 넓이의 4배)