Lesson 1.4

곱셈공식의 활용

Applications of Multiplication Formulas

$101^2$ 을 1초 만에 — 곱셈공식은 단순한 식 변형 도구가 아니라 강력한 계산 무기다. 수치 계산, 무리수 정리, 식의 값 구하기까지, 이 차시에서 4가지 활용법을 익힌다.

Hook · 도입
"$101^2$ 을 암산으로 풀 수 있을까?"

직접 곱하면 $101 \times 101$ — 종이와 펜이 필요하다. 그러나 곱셈공식 $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ 를 안다면 단 한 줄로 끝난다.

$101^2 = (100+1)^2$
    $= 100^2 + 2\cdot 100\cdot 1 + 1^2$
    $= 10{,}000 + 200 + 1$
    $= 10{,}201$

$99 \times 101 = (100-1)(100+1)$
    $= 100^2 - 1^2 = 9{,}999$
Use · 01

활용 1 — 수치 계산

Numerical Computation

1$100$ 근처의 수를 빠르게 제곱한다

"가까운 깔끔한 수"를 기준으로 잡고 곱셈공식을 적용한다.

전략 1. $a^2$ 꼴 → $(100 \pm k)^2 = 100^2 \pm 2\cdot 100\cdot k + k^2$
전략 2. 두 수의 곱 → 평균을 $a$, 차이의 반을 $b$ 로 보고 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
$98^2 = (100-2)^2 = 10{,}000 - 400 + 4 = 9{,}604$
$103^2 = (100+3)^2 = 10{,}000 + 600 + 9 = 10{,}609$
$97 \times 103 = (100-3)(100+3) = 10{,}000 - 9 = 9{,}991$
$52 \times 48 = (50+2)(50-2) = 2{,}500 - 4 = 2{,}496$
Use · 02

활용 2 — 무리수의 정리

Simplifying Irrational Expressions

2근호식의 계산과 분모의 유리화

Ⅰ-2에서 배운 분모의 유리화는, 사실 합·차의 곱 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 의 직접 응용이다.

패턴. $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b$ — 두 무리수의 곱이 깔끔히 유리수가 된다.
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$
$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2) = 7 - 4 = 3$
$(2\sqrt{3}+1)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2\cdot(2\sqrt{3})\cdot 1 + 1^2 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 = 13 + 4\sqrt{3}$
Use · 03

활용 3 — 식의 값 구하기

Evaluating Symmetric Expressions

3$x+y$ 와 $xy$ 를 이용해 대칭식 계산

$x^2+y^2, x^3+y^3, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ 같은 대칭식은 $x+y$ 와 $xy$ 만 알면 답이 나온다.

핵심 공식. $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$
또 하나. $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
역수 합. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{x+y}{xy}$
예) $x+y=5, xy=6$ 일 때
$x^2+y^2 = 5^2 - 2\cdot 6 = 25 - 12 = 13$
$(x-y)^2 = 25 - 24 = 1$, 즉 $|x-y|=1$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6}$
Use · 04

활용 4 — 치환법

Substitution Trick

4복잡한 식을 새 변수로 묶어 단순화한다

같은 표현이 반복될 때, 한 덩어리를 새 문자 $A$ 로 두면 공식이 그대로 적용된다.

예제. $(x+y+2)(x+y-2)$ 를 전개한다.
$x+y$ 가 같으므로 $A = x+y$ 로 두면 $(A+2)(A-2) = A^2 - 4 = (x+y)^2 - 4$.
$\;\;\;\;\; = x^2 + 2xy + y^2 - 4$
$(a+b-1)(a+b+3) \xrightarrow{A=a+b} (A-1)(A+3) = A^2 + 2A - 3$
  $= (a+b)^2 + 2(a+b) - 3 = a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b - 3$
Interactive · 실험실

대칭식 계산기

Symmetric Expression Calculator

$x+y$ 와 $xy$ 만 입력하면 $x^2+y^2, (x-y)^2$ 가 자동 계산된다.

Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions
Q1. 곱셈공식으로 $101^2$ 을 구하라.
Q2. 곱셈공식으로 $98^2$ 을 구하라.
Q3. $97\times 103$ 의 값을 구하라.
Q4. $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ 의 값을 구하라.
Q5. $x+y=5, xy=6$ 일 때 $x^2+y^2$ 의 값을 구하라.
Examples · 예제

풀이가 있는 두 예제

Worked Examples
예제 1

$x = \sqrt{3}+1, y = \sqrt{3}-1$ 일 때 $x^2 + y^2$ 의 값을 구하라.

대칭식이므로 $x+y, xy$ 를 먼저 구한 뒤 공식 $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ 를 쓴다.
  1. $x+y = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$
  2. $xy = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 - 1 = 2$
  3. $x^2+y^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2\cdot 2 = 12 - 4 = $ $8$
예제 2

$(a+b-c)(a+b+c)$ 를 전개하라.

반복되는 $a+b$ 를 $A$ 로 치환.
  1. $A = a+b$ 로 두면 식은 $(A-c)(A+c)$
  2. 합·차의 곱 적용 → $A^2 - c^2$
  3. $A$ 를 다시 풀면 $(a+b)^2 - c^2$
  4. $(a+b)^2$ 을 전개 → $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$
Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems
01★

$102^2$ 을 곱셈공식으로 구하라.

02★

$52 \times 48$ 을 합·차의 곱으로 구하라.

03★

$(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)$ 의 값을 구하라.

04★★

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$ 의 값을 구하라.

05★★

$x+y=7, xy=10$ 일 때 $x^2+y^2$ 의 값을 구하라.

06★★

$x+y=7, xy=10$ 일 때 $(x-y)^2$ 의 값을 구하라.

07★★★

$x = 2+\sqrt{3}, y = 2-\sqrt{3}$ 일 때 $x^2+y^2$ 의 값을 구하라.

08★★★

$(a+b+3)(a+b-3)$ 을 전개하라. (치환법 활용)

공식은 외워두는 순간 무기가 된다

$101^2, 97\times 103, (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ — 모두 한 줄로 끝낼 수 있는 계산. 공식이라는 무기는 들고 다니지 않으면 의미가 없다. 이제 다음 단원에서, 그 공식을 거꾸로 사용해 인수분해의 세계로 들어간다.

"The best way to learn is to do; the worst way to teach is to talk." — Paul Halmos