Hook · 도입
"가로 $(a+b)$, 세로 $(c+d)$인 직사각형의 넓이는?"
한 변씩 더해진 직사각형을 두 줄·두 칸으로 자르면, 작은 직사각형 네 개가 생긴다. 그 넓이는 각각 $ac, ad, bc, bd$. 합치면 $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. — 분배법칙은 종이 위 도형의 단순한 진실이다.
Core · 개념
분배법칙으로 전개하기
Expansion by the Distributive Law
1. 분배법칙 ─ 곱셈의 가장 기본
$a(b+c) = ab + ac \quad \text{그리고} \quad (a+b)c = ac + bc$
한 항을 두 항으로 묶인 식에 곱할 때, 그 항을 두 항 각각에 곱한 뒤 더한다.
2. 두 다항식의 곱
$(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$
앞의 두 항이 뒤의 두 항 각각과 곱해진다 — 총 $2\times 2 = 4$ 개의 항이 만들어진다.
1
앞 식의 첫 항 $a$를 뒤 식 전체에 곱한다.
$a\times(c+d) = ac + ad$
2
앞 식의 둘째 항 $b$를 뒤 식 전체에 곱한다.
$b\times(c+d) = bc + bd$
3
두 결과를 더해 동류항이 있으면 정리한다.
$ac + ad + bc + bd$
3. 동류항의 결합
전개 후 차수와 문자가 같은 항이 있으면 반드시 정리한다.
$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$
$3x$ 와 $2x$ 는 같은 일차항 — 묶어서 $5x$ 로 줄이는 것이 마지막 단계.
Interactive · 실험실
$(ax+b)(cx+d)$ 전개기
Live Expander
네 개의 계수를 바꿔보며 전개 결과를 관찰하라.
Quick Check · 즉문즉답
5문제 즉시 점검
Five Rapid Questions
Q1. $2(x+3)$ 을 전개하라.
Q2. $3(x-4)$ 를 전개하라.
Q3. $(x+2)(x+3)$ 을 전개하라. (예: x^2+5x+6)
Q4. $(2x+1)(x+3)$ 을 전개하라.
Q5. $(x+2)(x-3)$ 을 전개하라.
Examples · 예제
풀이가 있는 두 예제
Worked Examples
예제 1
$(2x+3)(x-4)$ 를 전개하여 간단히 하라.
전개 후 동류항을 정리하는 것이 핵심.
- 앞 식의 $2x$ 를 뒤 식에 곱한다 → $2x\cdot x + 2x\cdot(-4) = 2x^2 - 8x$
- 앞 식의 $3$ 을 뒤 식에 곱한다 → $3\cdot x + 3\cdot(-4) = 3x - 12$
- 두 결과를 더한다 → $2x^2 - 8x + 3x - 12$
- 동류항 $-8x$ 와 $3x$ 를 합친다 → $2x^2 - 5x - 12$
예제 2
$(3a-2b)(2a+b)$ 를 전개하여라.
두 변수가 있을 때는 차수가 같은 항을 정리한다.
- $3a\cdot 2a + 3a\cdot b = 6a^2 + 3ab$
- $(-2b)\cdot 2a + (-2b)\cdot b = -4ab - 2b^2$
- 모두 더하면 $6a^2 + 3ab - 4ab - 2b^2$
- 동류항 $3ab - 4ab = -ab$ 로 묶는다 → $6a^2 - ab - 2b^2$
Practice · 연습
난이도별 연습 8문제
Eight Graded Problems
01★
$3(x+4)$ 을 전개하라.
02★
$2x(x+3)$ 을 전개하라.
03★★
$(x+2)(x+5)$ 를 전개하라.
04★★
$(x+3)(x-5)$ 를 전개하라.
05★★
$(2x+1)(3x+2)$ 를 전개하라.
06★★★
$(2x-1)(x-3)$ 을 전개하라.
07★★★
$(a-b)(a+2b)$ 를 전개하여 간단히 하라.
08★★★
$(x+1)(x-1)(x+1)$ 을 전개하여 간단히 하라. [힌트: 먼저 $(x+1)(x-1)$ 을 계산]
전개의 핵심은 "모든 항을 빠뜨리지 않는 것"
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ — 항이 두 개씩이라면 결과는 항상 네 개. 어떤 항도 빠뜨리지 않은 다음, 동류항을 묶어 정리한다. 이 단순한 사실 위에서 다음 차시의 4가지 곱셈공식이 모두 따라 나온다.
"Mathematics is not about numbers, equations, or algorithms: it is about understanding." — William P. Thurston