"근호는 두려운 기호가 아니라, 가장 정확한 도구다."
이 수행과제는 6개의 단계로 구성된다. 각 단계는 새로운 기법을 익히고, 그것을 자신의 언어로 정리하며, 직접 계산해보는 과정으로 이어진다. 모든 응답은 자동 저장되므로, 한 번에 끝내지 못해도 다음에 이어서 작성할 수 있다.
- 각 단계의 계산 칸에는 풀이 과정을 단계별로 적는다.
- 각 단계의 설명 칸에는 왜 그렇게 했는지를 자신의 말로 적는다.
- 모든 답은 가장 간단한 꼴(소인수·유리화·동류항 정리)로 정리한다.
- 마지막 단계에서는 본인의 학습을 스스로 평가하고 보고서를 작성한다.
Stage · 01
곱셈과 나눗셈 마스터
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
Ⅰ근호의 곱과 몫
근호끼리의 곱과 몫의 공식을 사용하여 식을 가장 간단한 꼴로 변형할 수 있다.
다음 세 계산을 차례로 수행하고, 각 과정에서 사용한 공식을 명시하라.
- ① $\sqrt{6} \times \sqrt{10}$
- ② $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
- ③ $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{6}$
힌트 — 답을 적은 뒤, "왜 그 분해를 골랐는지" 한 줄로 덧붙여라.
Stage · 02
덧셈과 뺄셈 마스터
$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$ — 동류항 결합
Ⅱ근호 동류항의 결합
근호 안의 수를 같게 만든 뒤, 계수끼리 더하거나 뺄 수 있다.
다음 세 식을 가장 간단히 정리하라. 풀이의 핵심 — "먼저 √ 안을 통일시킨다".
- ① $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$
- ② $3\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \sqrt{48}$
- ③ $\sqrt{5}(\sqrt{20} - \sqrt{45})$
자주 하는 실수 — $\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}$. 근호 안이 같지 않으면 결합할 수 없다.
Stage · 03
분모의 유리화 마스터
$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$, $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$
Ⅲ분모에서 근호 제거
분모를 유리수로 만드는 두 가지 방법(같은 수 곱하기·켤레식 곱하기)을 구분하여 사용할 수 있다.
다음 세 분수의 분모를 유리화하라.
- ① $\dfrac{6}{\sqrt{2}}$
- ② $\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}$
- ③ $\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}$ (켤레식 활용)
켤레식의 핵심 — $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$ 라는 곱셈공식이 유리수를 만들어 준다.
Stage · 04
곱셈공식 활용 마스터
$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2 = a + b \pm 2\sqrt{ab}$
Ⅳ근호식의 전개
다항식의 곱셈공식을 근호식에 적용하여 자유롭게 전개·정리할 수 있다.
다음 세 식을 전개하고, 각 단계에서 사용한 공식을 옆에 적어라.
- ① $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$
- ② $(2\sqrt{5}-\sqrt{3})(2\sqrt{5}+\sqrt{3})$
- ③ $(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-3)$
공식의 등장 — ① 완전제곱식, ② 합·차의 곱, ③ $(x+a)(x+b)$ 꼴
Stage · 05
복합 문제 마스터
앞의 네 기법을 조합해야 풀리는 문제들
Ⅴ여러 기법의 결합
한 문제 안에 곱셈·뺄셈·유리화·전개가 모두 등장하는 식을 차근차근 정리할 수 있다.
다음 두 문제를 풀이하라. 풀이는 가능한 한 잘게 쪼개어 적는다.
- ① $\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ 를 간단히 하라.
- ② $x = \sqrt{5}+1,\ y = \sqrt{5}-1$ 일 때 $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$ 의 값을 구하라.
전략 — ②번처럼 $x+y, xy$를 먼저 구하면 거의 모든 대칭식이 쉽게 풀린다.
Stage · 06
자기 평가 보고서
Self-Assessment Report
Ⅵ학습 되돌아보기
자신이 어느 기법에 강하고 어느 기법에 약한지 정확히 진단하고, 다음 단계의 학습 계획을 세운다.
다음 네 가지 항목을 자유롭게 서술하라.
- ① 가장 자신 있는 기법 1개를 고르고, 왜 자신 있는지 두 문장으로 설명하라.
- ② 가장 어려웠던 기법 1개를 고르고, 어디서 막혔는지 구체적으로 적어라.
- ③ 자주 했던 실수 한 가지를 적고, 그 실수를 피하기 위한 자신만의 규칙을 만들어라.
- ④ Ⅰ단원(제곱근과 실수)에서 배운 모든 내용을 1~2문장으로 요약하라.
정직한 자기 평가가 다음 학습의 토대가 된다.
Stage 1~4
60
각 기법별 계산 정확성. 풀이 과정의 단계 구분과 공식 명시.
Stage 5
25
여러 기법을 조합해 복합 문제를 정확히 정리하는 능력.
Stage 6
15
자기 학습을 객관적으로 진단하고, 개선 계획을 세우는 능력.
모든 단계를 완료했다면, 제출하라.
제출 시 자동으로 응답이 검토되며, 각 단계의 작성 상태를 점검할 수 있다.